1.數學餘弦定理練習題高二1.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120，則邊c的值是()
A.8 B.217
C.62 D.219
解析：選D.根據餘弦定理，c2=a2+b2-2abcos C=16+36-246cos 120=76，c=219.
2.在△ABC中，已知a=2，b=3，C=120，則sin A的值為()
A.5719 B.217
C.338 D.-5719
解析：選A.c2=a2+b2-2abcos C
=22+32-223cos 120=19.
c=19.
由asin A=csin C得sin A=5719.
3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那麼它的頂角的餘弦值為__________.
解析：設底邊邊長為a，則由題意知等腰三角形的.腰長為2a，故頂角的餘弦值為4a2+4a2-a222a2a=78.
答案：78
4.在△ABC中，若B=60，2b=a+c，試判斷△ABC的形狀.
解：法一：根據餘弦定理得
b2=a2+c2-2accos B.
∵B=60，2b=a+c，
(a+c2)2=a2+c2-2accos 60，
整理得(a-c)2=0，a=c.
△ABC是正三角形.
法二：根據正弦定理，
2b=a+c可轉化為2sin B=sin A+sin C.
又∵B=60，A+C=120，
C=120-A，
2sin 60=sin A+sin(120-A)，
整理得sin(A+30)=1，
A=60，C=60.
△ABC是正三角形.
課時訓練
一、選擇題
1.在△ABC中，符合餘弦定理的是()
A.c2=a2+b2-2abcos C
B.c2=a2-b2-2bccos A
C.b2=a2-c2-2bccos A
C=a2+b2+c22ab
解析：選A.注意餘弦定理形式，特別是正負號問題.
2.(2011年合肥檢測)在△ABC中，若a=10，b=24，c=26，則最大角的餘弦值是()
A.1213 B.513
C.0 D.23
解析：選C.∵ca，c所對的角C為最大角，由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=0.
3.已知△ABC的三邊分別為2,3,4，則此三角形是()
A.鋭角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.不能確定
解析：選B.∵42=1622+32=13，邊長為4的邊所對的角是鈍角，△ABC是鈍角三角形.
4.在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，則角A為()
A. B.6
C.2 D.3或23
解析：選C.由已知得b2+c2-a2=-bc，
cos A=b2+c2-a22bc=-12，
又∵0
5.在△ABC中，下列關係式
①asin B=bsin A
②a=bcos C+ccos B
③a2+b2-c2=2abcos C
④b=csin A+asin C
一定成立的有()
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
解析：選C.由正、餘弦定理知①③一定成立.對於②由正弦定理知sin A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)，顯然成立.對於④由正弦定理sin B=sin Csin A+sin Asin C=2sin Asin C，則不一定成立.
6.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，則cos B等於()
A.14 B.34
C.24 D.23
解析：選B.∵b2=ac，c=2a，
b2=2a2，
cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a2a
=34.
二、填空題
7.在△ABC中，若A=120，AB=5，BC=7，則AC=________.
解析：由余弦定理，
得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA，
即49=25+AC2-25AC(-12)，
AC2+5AC-24=0.
AC=3或AC=-8(捨去).
答案：3
8.已知三角形的兩邊分別為4和5，它們的夾角的餘弦值是方程2x2+3x-2=0的根，則第三邊長是________.
解析：解方程可得該夾角的餘弦值為12，由余弦定理得：42+52-24512=21，第三邊長是21.
答案：21
9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8，則B的大小是________.
解析：由正弦定理，
得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8.
不妨設a=5k，b=7k，c=8k，
則cos B=5k2+8k2-7k225k8k=12，
B=3.
答案：3
三、解答題
10.已知在△ABC中，cos A=35，a=4，b=3，求角C.
解：A為b，c的夾角，
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，
16=9+c2-635c，
整理得5c2-18c-35=0.
解得c=5或c=-75(舍).
由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=16+9-25243=0，
∵0
11.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊長，若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B，求C的大小.
解：由題意可知，
(a+b+c)(a+b-c)=3ab，
於是有a2+2ab+b2-c2=3ab，
即a2+b2-c22ab=12，
所以cos C=12，所以C=60.
12.在△ABC中，b=asin C，c=acos B，試判斷△ABC的形狀.
解：由余弦定理知cos B=a2+c2-b22ac，代入c=acos B，
得c=aa2+c2-b22ac，c2+b2=a2，
△ABC是以A為直角的直角三角形.
又∵b=asin C，b=aca，b=c，
△ABC也是等腰三角形.
綜上所述，△ABC是等腰直角三角形.
餘弦定理練習題
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