1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，則邊c的值是()
A．8B．217
C．62D．219
解析：選D.根據餘弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，c＝219.
2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，則sinA的值為()
A.5719B.217
C.338D．－5719
解析：選A.c2＝a2＋b2－2abcosC
＝22＋32－2×2×3×cos120°＝19.
∴c＝19.
由asinA＝csinC得sinA＝5719.
3．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那麼它的頂角的餘弦值為__________．
解析：設底邊邊長為a，則由題意知等腰三角形的腰長為2a，故頂角的餘弦值為4a2＋4a2－a222a2a＝78.
答案：78
4．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀．
解：法一：根據餘弦定理得
b2＝a2＋c2－2accosB.
∵B＝60°，2b＝a＋c，
∴(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos60°，
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.
∴△ABC是正三角形．
法二：根據正弦定理，
2b＝a＋c可轉化為2sinB＝sinA＋sinC.
又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，
∴C＝120°－A，
∴2sin60°＝sinA＋sin(120°－A)，
整理得sin(A＋30°)＝1，
∴A＝60°，C＝60°.
∴△ABC是正三角形．
課時訓練
一、選擇題
1．在△ABC中，符合餘弦定理的是()
A．c2＝a2＋b2－2abcosC
B．c2＝a2－b2－2bccosA
C．b2＝a2－c2－2bccosA
D．cosC＝a2＋b2＋c22ab
解析：選A.注意餘弦定理形式，特別是正負號問題．
2．(2011年合肥檢測)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，則最大角的餘弦值是()
A.1213B.513
C．0D.23
解析：選C.∵c＞b＞a，∴c所對的角C為最大角，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝0.
3．已知△ABC的三邊分別為2,3,4，則此三角形是()
A．鋭角三角形B．鈍角三角形
C．直角三角形D．不能確定
解析：選B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴邊長為4的邊所對的角是鈍角，∴△ABC是鈍角三角形．
4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，則角A為()
A.π3B.π6
C.2π3D.π3或2π3
解析：選C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，
∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，
又∵0＜A＜π，∴A＝2π3，故選C.
5．在△ABC中，下列關係式
①asinB＝bsinA
②a＝bcosC＋ccosB
③a2＋b2－c2＝2abcosC
④b＝csinA＋asinC
一定成立的有()
A．1個B．2個
C．3個D．4個
解析：選C.由正、餘弦定理知①③一定成立．對於②由正弦定理知sinA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)，顯然成立．對於④由正弦定理sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，則不一定成立．
6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，則cosB等於()
A.14B.34
C.24D.23
解析：選B.∵b2＝ac，c＝2a，
∴b2＝2a2，
∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a2a
＝34.
二、填空題
7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，則AC＝________.
解析：由余弦定理，
得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA，
即49＝25＋AC2－2×5×AC×(－12)，
AC2＋5AC－24＝0.
∴AC＝3或AC＝－8(捨去)．
答案：3
8．已知三角形的兩邊分別為4和5，它們的夾角的餘弦值是方程2x2＋3x－2＝0的.根，則第三邊長是________．
解析：解方程可得該夾角的餘弦值為12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12＝21，∴第三邊長是21.
答案：21
9．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，則B的大小是________．
解析：由正弦定理，
得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8.
不妨設a＝5k，b＝7k，c＝8k，
則cosB＝5k2＋8k2－7k22×5k×8k＝12，
∴B＝π3.
答案：π3
三、解答題
10．已知在△ABC中，cosA＝35，a＝4，b＝3，求角C.
解：A為b，c的夾角，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴16＝9＋c2－6×35c，
整理得5c2－18c－35＝0.
解得c＝5或c＝－75(舍)．
由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝16＋9－252×4×3＝0，
∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.
11．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊長，若(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB，求C的大小．
解：由題意可知，
(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
於是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，
即a2＋b2－c22ab＝12，
所以cosC＝12，所以C＝60°.
12．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，試判斷△ABC的形狀．
解：由余弦定理知cosB＝a2＋c2－b22ac，代入c＝acosB，
得c＝aa2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，
∴△ABC是以A為直角的直角三角形．
又∵b＝asinC，∴b＝aca，∴b＝c，
∴△ABC也是等腰三角形．
綜上所述，△ABC是等腰直角三角形．
文萃咖
