餘弦定理優秀教學設計

作為一名為他人授業解惑的教育工作者，編寫教學設計是必不可少的，教學設計是教育技術的組成部分，它的功能在於運用系統方法設計教學過程，使之成為一種具有操作性的程序。那麼應當如何寫教學設計呢？下面是小編為大家整理的餘弦定理優秀教學設計，歡迎閲讀與收藏。

餘弦定理優秀教學設計1

一、教學設計

1、教學背景

在近幾年教學實踐中我們發現這樣的怪現象：絕大多數學生認為數學很重要，但很難;學得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升學，我們才不會去理會，況且將來用數學的機會很少;許多學生完全依賴於教師的講解，不會自學，不敢提問題，也不知如何提問題，這説明了學生一是不會學數學，二是對數學有恐懼感，沒有信心，這樣的心態怎能對數學有所創新呢即使有所創新那與學生們所花代價也不成比例，其間扼殺了他們太多的快樂和個性特長。建構主義提倡情境式教學，認為多數學習應與具體情境有關，只有在解決與現實世界相關聯的問題中，所建構的知識才將更豐富、更有效和易於遷移。我們在2009級進行了“創設數學情境與提出數學問題”的以學生為主的“生本課堂”教學實驗，通過一段時間的教學實驗，多數同學已能適應這種學習方式，平時能主動思考，敢於提出自己關心的問題和想法，從過去被動的接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識，增強了學習數學的興趣。

2、教材分析

“餘弦定理”是高中數學的主要內容之一，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本節課是“正弦定理、餘弦定理”教學的第二節課，其主要任務是引入並證明餘弦定理。布魯納指出，學生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創設學生能夠獨立探究的情境，引導學生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好“餘弦定理”的教學，不僅能複習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯繫、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

3、設計思路

建構主義強調，學生並不是空着腦袋走進教室的。在日常生活中，在以往的學習中，他們已經形成了豐富的經驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現成的經驗，但當問題一旦呈現在面前時，他們往往也可以基於相關的經驗，依靠他們的認知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋並不都是胡亂猜測，而是從他們的經驗背景出發而推出的合乎邏輯的假設。所以，教學不能無視學生的這些經驗，另起爐灶，從外部裝進新知識，而是要把學生現有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗。

為此我們根據“情境—問題”教學模式，沿着“設置情境—提出問題—解決問題—反思應用”這條主線，把從情境中探索和提出數學問題作為教學的出發點，以“問題”為紅線組織教學，形成以提出問題與解決問題相互引發攜手並進的“情境—問題”學習鏈，使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發現者”和“創造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。根據上述精神，做出瞭如下設計：

①創設一個現實問題情境作為提出問題的背景;

②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決問題時需要使用餘弦定理，藉此引發學生的認知衝突，揭示解斜三角形的必要性，並使學生產生進一步探索解決問題的動機。然後引導學生抓住問題的數學實質，引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊。

③為了解決提出的問題，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗，通過作邊BC的垂線得到兩個直角三角形，然後利用勾股定理和鋭角三角函數得出餘弦定理的表達式，進而引導學生進行嚴格的邏輯證明。證明時，關鍵在於啟發、引導學生明確以下兩點：一是證明的起點 ;二是如何將向量關係轉化成數量關係。

④由學生獨立使用已證明的結論去解決中所提出的問題。

二、教學反思

本課中，教師立足於所創設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為餘弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實，為今後的“定理教學”提供了一些有用的借鑑。

例如，新課的引入，我引導學生從向量的模下手思考：

生：利用向量的模並藉助向量的數量積。

教師：正確!由於向量 的模長，夾角已知，只需將向量 用向量 來表示即可。易知 ，接下來只要把這個向量等式數量化即可。如何實現呢

學生8：通過向量數量積的運算。

通過教師的引導，學生不難發現 還可以寫成 ， 不共線，這是平面向量基本定理的一個運用。因此在一些解三角形問題中，我們還可以利用平面向量基本定理尋找向量等式，再把向量等式化成數量等式，從而解決問題。

(從學生的“最近發展區”出發，證明方法層層遞進，激發學生探求新知的慾望，從而感受成功的喜悦。)

創設數學情境是“情境·問題·反思·應用”教學的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。

從應用需要出發，創設認知衝突型數學情境，是創設情境的常用方法之一。“餘弦定理”具有廣泛的應用價值，故本課中從應用需要出發創設了教學中所使用的數學情境。該情境源於教材解三角形應用舉例的例1實踐説明，這種將教材中的例題、習題作為素材改造加工成情境，是創設情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進行深入、細緻、全面的研究，便不難發現教材中有不少可用的素材。

“情境·問題·反思·應用”教學模式主張以問題為“紅線”組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，如何引導學生提出問題是教學成敗的關鍵，教學實驗表明，學生能否提出數學問題，不僅受其數學基礎、生活經歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環境、教師對提問的態度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創設適宜的數學情境(不僅具有豐富的內涵，而且還具有“問題”的誘導性、啟發性和探索性)，而且要真正轉變對學生提問的態度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學生提出的問題。關注學生學習的結果，更關注學生學習的過程;關注學生數學學習的水平，更關注學生在數學活動中所表現出來的情感與態度;關注是否給學生創設了一種情境，使學生親身經歷了數學活動過程。把“質疑提問”，培養學生的數學問題意識，提高學生提出數學問題的能力作為教與學活動的起點與歸宿。

餘弦定理優秀教學設計2

一. 教學目標：

1.知識與技能：認識正弦、餘弦定理，瞭解三角形中的邊與角的關係。

2.過程與方法：通過具體的探究活動，瞭解正弦、餘弦定理的內容，並從具體的實例掌握正弦、餘弦定理的應用。

3.情感態度與價值觀：通過對實例的探究，體會到三角形的和諧美，學會穩定性的重要。

二. 教學重、難點：

重點：

正弦、餘弦定理應用以及公式的變形

難點：

運用正、餘弦定理解決有關斜三角形問題。

知識梳理

1．正弦定理和餘弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則

(1)S＝2ah(h表示邊a上的高)

(2)S＝2bcsin A＝2sin C＝2acsin B

(3)S＝2r(a＋b＋c)(r為△ABC內切圓半徑)

問題1：在△ABC中，a＝3，b2，A＝60°求c及B C 問題2在△ABC中,c=6 A=30° B=120°求a b及C

問題3在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝16，則b＝

通過對上述三個較簡單問題的解答指導學生總結正餘弦定理的應用; 正弦定理可以解決

(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；

(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角

餘弦定理可以解決

(1)已知三邊，求三個角；

(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角

我們不難發現利用正餘弦定理可以解決三角形中“知三求三” 知三中必須要有一邊

應用舉例

【例1】 (1)(2013·湖南卷)在鋭角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b.若2asin B3b，則角A等於 ( )

A.3 B.4 C.6

(2)(20xx·杭州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，c＝2，B＝45°，則sin C＝______.

解析 (1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝3sin B， ∵B為△ABC的內角，∴sin B≠0. 3

∴sin A＝2又∵△ABC為鋭角三角形，

∴A∈02，∴A＝3

(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－2×2＝25，即b＝5. c·sin B

所以sin Cb4

答案 (1)A (2)5

【訓練1】 (1)在△ABC中，a＝3，c＝2，A＝60°，則C＝

A．30° B．45° C．45°或135° D．60°

(2)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝3sin B，則A＝

A．30° B．60° C．120° D．150°

解析 (1)由正弦定理，得sin 60°sin C，解得：sin C＝2，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°

(2)∵sin C＝23sin B，由正弦定理，得c＝23b， b2＋c2－a2－3bc＋c2－3bc＋3bc3∴cos A＝2bc＝＝2bc2bc2， 又A為三角形的內角，∴A＝30°.

答案 (1)B (2)A

規律方法

已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；

已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷。

【例2】 (20xx·臨沂一模)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小；

(2)若sin B＋sin C＝3，試判斷△ABC的形狀。

解 (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，

得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，

即bc＝b2＋c2－a2， b2＋c2－a21

∴cos A＝2bc＝2，

∴A＝60°.

(2)∵A＋B＋C＝180°，

∴B＋C＝180°－60°＝120°

由sin B＋sin C＝3，

得sin B＋sin(120°－B)＝3，

∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝3. 33

∴2sin B＋2B＝3，

即sin(B＋30°)＝1. ∵0°<b<120°，< p="">

∴30°<b＋30°<150°.< p="">

∴B＋30°＝90°，B＝60°.

∴A＝B＝C＝60°，

△ABC為等邊三角形．

規律方法

解決判斷三角形的形狀問題，一般將條件化為只含角的三角函數的關係式，然後利用三角恆等變換得出內角之間的關係式；

或將條件化為只含有邊的關係式，然後利用常見的化簡變形得出三邊的關係。另外，在變形過程中要注意A，B，C的範圍對三角函數值的影響。

課堂小結

1．在解三角形的問題中，三角形內角和定理起着重要作用，在解題時要注意根據這個定理確定角的範圍及三角函數值的符號，防止出現增解或漏解。

2．正、餘弦定理在應用時，應注意靈活性，尤其是其變形應用時可相互轉化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以轉化為sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用這些變形可進行等式的化簡與證明。

餘弦定理優秀教學設計3

教材分析這是高三一輪複習，內容是必修5第一章解三角形。本章內容準備複習兩課時。本節課是第一課時。標要求本章的中心內容是如何解三角形，正弦定理和餘弦定理是解三角形的工具，最後應落實在解三角形的應用上。通過本節學習，學生應當達到以下學習目標：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關係的探索，掌握正弦定理、餘弦定理解三角形。

（2）能夠運用正弦定理、餘弦定理等知識和方法判斷三角形形狀的問題。本章內容與三角函數、向量聯繫密切。

作為複習課一方面將本章知識作一個梳理，另一方面通過整理歸納幫助學生進一步達到相應的學習目標。

學情分析學生通過必修5的學習，對正弦定理、餘弦定理的內容已經瞭解，但對於如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關係轉化從而解決三角形綜合問題，學生還需通過複習提點有待進一步理解和掌握。

教學目標知識目標：

（1）學生通過對任意三角形邊長和角度關係的探索，掌握正弦、餘弦定理的內容及其證明方法；會運用正、餘弦定理與三角形內角和定理，面積公式解斜三角形的兩類基本問題。

（2）學生學會分析問題，合理選用定理解決三角形綜合問題。

能力目標：

培養學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力，培養學生合情推理探索數學規律的數學思維能力。

情感目標：

通過生活實例探究回顧三角函數、正餘弦定理，體現數學來源於生活，並應用於生活，激發學生學習數學的興趣，並體會數學的應用價值，在教學過程中激發學生的探索精神。

教學方法探究式教學、講練結合

重點難點

1、正、餘弦定理的對於解解三角形的合理選擇；

2、正、餘弦定理與三角形的有關性質的綜合運用。

教學策略

1、重視多種教學方法有效整合。

2、重視提出問題、解決問題策略的指導。

3、重視加強前後知識的密切聯繫。

4、重視加強數學實踐能力的培養。

5、注意避免過於繁瑣的形式化訓練。

6、教學過程體現“實踐→認識→實踐”。

設計意圖：

學生通過必修5的學習，對正弦定理、餘弦定理的內容已經瞭解，但對於如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關係轉化從而解決三角形綜合問題，學生還需通過複習提點有待進一步理解和掌握。作為複習課一方面要將本章知識作一個梳理，另一方面要通過整理歸納幫助學生學會分析問題，合理選用並熟練運用正弦定理、餘弦定理等知識和方法解決三角形綜合問題和實際應用問題。

數學思想方法的教學是中學數學教學中的重要組成部分，有利於學生加深數學知識的理解和掌握。雖然是複習課，但我們不能一味的講題，在教學中應體現以下教學思想：

⑴重視教學各環節的合理安排：

在生活實踐中提出問題，再引導學生帶着問題對新知進行探究，然後引導學生回顧舊知識與方法，引出課題。激發學生繼續學習新知的慾望，使學生的知識結構呈一個螺旋上升的狀態，符合學生的認知規律。

⑵重視多種教學方法有效整合，以講練結合法、分析引導法、變式訓練法等多種方法貫穿整個教學過程。

⑶重視提出問題、解決問題策略的指導。共3頁，當前第1頁123

⑷重視加強前後知識的密切聯繫。對於新知識的探究，必須增加足夠的預備知識，做好銜接。要對學生已有的知識進行分析、整理和篩選，把對學生後繼學習中有需要的.知識選擇出來，在新知識介紹之前進行復習。

⑸注意避免過於繁瑣的形式化訓練。從數學教學的傳統上看解三角形內容有不少高度技巧化、形式化的問題，我們在教學過程中應該注意儘量避免這一類問題的出現。

二、實施教學過程

（一）創設情境、揭示提出課題

引例：要測量南北兩岸a、b兩個建築物之間的距離，在南岸選取相距a點km的c點，並通過經緯儀測的，你能計算出a、b之間的距離嗎？若人在南岸要測量對岸b、d兩個建築物之間的距離，該如何進行？

（二）複習回顧、知識梳理

1．正弦定理：

正弦定理的變形：

利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題。

（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；

（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角。（從而進一步求出其他的邊和角）

2．餘弦定理：

a2=b2+c2－2bccosa；

b2=c2+a2－2cacosb；

c2=a2+b2－2abcosc。

cosa=；

cosb=；

cosc=。

利用餘弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：

（1）已知三邊，求三個角；

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。

3．三角形面積公式：

（三）自主檢測、知識鞏固

（四）典例導航、知識拓展

【例1】 △abc的三個內角a、b、c的對邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：a=2b。

剖析：研究三角形問題一般有兩種思路。一是邊化角，二是角化邊。

證明：用正弦定理，a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc，代入a2=b（b+c）中，得sin2a=sinb（sinb+sinc）sin2a－sin2b=sinbsinc

因為a、b、c為三角形的三內角，所以sin（a+b）≠0。所以sin（a－b）=sinb。所以只能有a－b=b，即a=2b。

評述：利用正弦定理，將命題中邊的關係轉化為角間關係，從而全部利用三角公式變換求解。

思考討論：該題若用餘弦定理如何解決？

【例2】已知a、b、c分別是△abc的三個內角a、b、c所對的邊，

（1）若△abc的面積為，c=2，a=600，求邊a，b的值；

（2）若a=ccosb，且b=csina，試判斷△abc的形狀。

（五）變式訓練、歸納整理

【例3】已知a、b、c分別是△abc的三個內角a、b、c所對的邊，若bcosc=（2a—c）cosb

（1）求角b

（2）設，求a+c的值。

剖析：同樣知道三角形中邊角關係，利用正餘弦定理邊化角或角化邊，從而解決問題，此題所變化的是與向量相結合，利用向量的模與數量積反映三角形的邊角關係，把本質看清了，問題與例2類似解決。

此題分析後由學生自己作答，利用實物投影集體評價，再做歸納整理。

（解答略）

課時小結（由學生歸納總結，教師補充）

1、解三角形時，找三邊一角之間的關係常用餘弦定理，找兩邊兩角之間的關係常用正弦定理。

2、根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊。並常用正餘弦定理實施邊角轉化。

3、用正餘弦定理解三角形問題可適當應用向量的數量積求三角形內角與應用向量的模求三角形的邊長。

4、應用問題可利用圖形將題意理解清楚，然後用數學模型解決問題。

5、正餘弦定理與三角函數、向量、不等式等知識相結合，綜合運用解決實際問題。

課後作業：

材料三級跳。

創設情境，提出實際應用問題，揭示課題。

學生在探究問題時發現是解三角形問題，通過問答將知識作一梳理。

學生通過課前預熱1、2、3、的快速作答，對正餘弦定理的基本運用有了一定的回顧。

學生探討。

知識的關聯與拓展

正餘弦定理與三角形內角和定理，面積公式的綜合運用對學生來説也是難點，尤其是根據條件判斷三角形形狀。此處列舉例2讓學生進一步體會如何選擇定理進行邊角互化。

本課是在學生學習了三角函數、平面幾何、平面向量、正弦和餘弦定理的基礎上而設置的複習內容，因此本課的教學有較多的處理辦法。從解三角形的問題出發，對學過的知識進行分類，採用的例題是精心準備的，講解也是至關重要的。一開始的複習回顧學生能夠很好的回答正弦定理和餘弦定理的基本內容，但對於兩個定理的變形公式不知，也就是説對於公式的應用不熟練。設計中的自主檢測幫助學生回顧記憶公式，對學生更有針對性的進行了訓練。學生還是出現了問題，在遇到第一個正弦方程時，是隻有一組解還是有兩組解，這是難點。例1、例2是常規題，讓學生應用數學知識求解問題，可用正弦定理，也可用餘弦定理，幫助學生鞏固正弦定理、餘弦定理知識。

本節課授課對象為高三6班的學生，上課氛圍非常活躍。考慮到這是一節複習課，學生已經知道了定理的內容，沒有經歷知識的發生與推導，所以興趣不夠，較沉悶。奧蘇貝爾指出，影響學習的最重要因素是學生已經知道了什麼，我們應當根據學生原有的知識狀況去進行教學。因而，在教學中，教師瞭解學生的真實的思維活動是一切教學工作的實際出發點。教師應當"接受"和"理解"學生的真實思想，儘管它可能是錯誤的或幼稚的，但卻具有一定的"內在的"合理性，教師不應簡單否定，而應努力去理解這些思想的產生與性質等等，只有真正理解了學生思維的發生發展過程，才能有的放矢地採取適當的教學措施以便幫助學生不斷改進並最終實現自己的目標。由於這種探究課型在平時的教學中還不夠深入，有些學生往往以一種觀賞者的身份參與其中，主動探究意識不強，思維水平沒有達到足夠的提升。這些都是不足之處，比較遺憾。但相信隨着課改實驗的深入，這種狀況會逐步改善。畢竟輕鬆愉快的課堂是學生思維發展的天地，是合作交流、探索創新的主陣地，是思想教育的好場所。所以新課標下的課堂將會是學生和教師共同成長的舞台！