高一數學必修3映射教案

高一數學必修3映射教案

教學目標

1．瞭解映射的概念，象與原象的概念，和一一映射的概念．

（1）明確映射是特殊的對應即由集合 ，集合 和對應法則f三者構成的一個整體，知道映射的特殊之處在於必須是多對一和一對一的對應；

（2）能準確使用數學符號表示映射， 把握映射與一一映射的區別；

（3）會求給定映射的指定元素的象與原象，瞭解求象與原象的方法．

2．在概念形成過程中，培養學生的觀察，比較和歸納的能力．

3．通過映射概念的學習，逐步提高學生對知識的探究能力．

教學建議

教材分析

（1）知識結構

映射是一種特殊的對應，一一映射又是一種特殊的映射，而且函數也是特殊的映射，它們之間的關係可以通過下圖表示出來，如圖：

由此我們可從集合的包含關係中幫助我們把握相關概念間的區別與聯繫．

（2）重點，難點分析

本節的教學重點和難點是映射和一一映射概念的形成與認識．

①映射的概念是比較抽象的概念，它是在初中所學對應的基礎上發展而來．教學中應特別強調對應集合 中的唯一這點要求的理解；

映射是學生在初中所學的對應的基礎上學習的，對應本身就是由三部分構成的整體，包括集 合A和集合B及對應法則f，由於法則的不同，對應可分為一對一，多對一，一對多和多對多． 其中只有一對一和多對一的能構成映射，由此可以看到映射必是“對B中之唯一”，而只要是對應就必須保證讓A中之任一與B中元素相對應，所以滿足一對一和多對一的對應就能體現出“任一對唯一”．

②而一一映射又在映射的基礎上增加新的要求，決定了它在學習中是比較困難的．

教法建議

牐牐1）在映射概念引入時，可先從學生熟悉的對應入手， 選擇一些具體的生活例子，然後再舉一些數學例子，分為一對多、多對一、多對一、一對一四種情況，讓學生認真觀察，比較，再引導學生髮現其中一對一和多對一的對應是映射，逐步歸納概括出映射的'基本特徵，讓學生的認識從感性認識到理性認識．

（2）在剛開始學習映射時，為了能讓學生看清映射的構成，可以選擇用圖形表示映射，在集合的選擇上可選擇能用列舉法表示的有限集，法則儘量用語言描述，這樣的表示方法讓學生可以比較直觀的認識映射，而後再選擇用抽象的數學符號表示映射，比如：

， ．

這種表示方法比較簡明，抽象，且能看到三者之間的關係．除此之外，映射的一般表示方法為 ，從這個符號中也能看到映射是由三部分構成的整體，這對後面認識函數是三件事構成的整體是非常有幫助的．

（3）對於學生層次較高的學校可以在給出定義後讓學生根據自己的理解舉出映射的例子，教師也給出一些映射的例子，讓學生從中發現映射的特點，並用自己的語言描述出來，最後教師加以概括，再從中引出一一映射概念；對於學生層次較低的學校，則可以由教師給出一些例子讓學生觀察，教師引導學生髮現映射的特點，一起概括．最後再讓學生舉例，並逐步增加要求向一一映射靠攏， 引出一一映射概念．

（4）關於求象和原象的問題，應在計算的過程中總結方法，特別是求原象的方法是解方程或方程組，還可以通過方程組解的不同情況（有唯一解，無解或有無數解）加深對映射的認識．

（5）在教學方法上可以採用啟發，討論的形式，讓學生在實例中去觀察，比較，啟發學生尋找共性，共同討論映射的特點，共同舉例，計算，最後進行小結，教師要起到點撥和深化的作用．

教學設計方案

2。1 映射

教學目標（1）瞭解映射的概念，象與原象及一一映射的概念．

（2）在概念形成過程中，培養學生的觀察，分析對比，歸納的能力．

（3）通過映射概念的學習，逐步提高學生的探究能力．

教學重點難點：：映射概念的形成與認識．

教學用具：實物投影儀

教學方法：

數學教案－映射，標籤：高一數學必修3教案，高一數學必修1教案，

啟發討論式

教學過程（）：

一、引入

在初中，我們已經初步探討了函數的定義並研究了幾類簡單的常見函數．在高中，將利用前面集合有關知識，利用映射的觀點給出函數的定義．那麼映射是什麼呢？這就是我們今天要詳細的概念．

二、新課

在前一章集合的初步知識中，我們學習了元素與集合及集合與集合之間的關係，而映射是重點研究兩個集合的元素與元素之間的對應關係．這要先從我們熟悉的對應説起（用投影儀打出一些對應關係，共6個）

我們今天要研究的是一類特殊的對應，特殊在什麼地方呢？

提問1：在這些對應中有哪些是讓A中元素就對應B中唯一一個元素？

讓學生仔細觀察後由學生回答，對有爭議的，或漏選，多選的可詳細説明理由進行討論．最後得出（1），（2），（5），（6）是符合條件的（用投影儀將這幾個集中在一起）

提問2：能用自己的語言描述一下這幾個對應的共性嗎？

經過師生共同推敲，將映射的定義引出．（主體內容由學生完成，教師做必要的補充）

（板書）

一．映射

1．定義：一般地，設 兩個集合，如果按照某種對應法則 ，對於集合 中的任何一個元素，在集合 中都有唯一的元素和它對應，那麼這樣的對應（包括集合 及 到 的對應法則）叫做集合 到集合 的映射，記作 ．

定義給出之後，教師應及時強調映射是特殊的對應，故是三部分構成的一個整體，從映射的符號表示中也可看出這一點，它的特殊之處在於元素與元素之間的對應必須作到“任一對唯一”，同時指出具有對應關係的元素即 中元素 對應 中元素 ，則 叫 的象， 叫 的原象．

（板書）

2．象與原象

可以用前面的例子具體説明誰是誰的象，誰是誰的原象．

提問3：下面請同學根據自己對映射的理解舉幾個映射的例子，看對映射是否真正認識了．

（開始時只要是映射即可，之後可逐步提高要求，如集合是無限集，或生活中的例子等）由學生自己評判．之後教師再給出幾個（主要是補充學生舉例類型的不足）

（1） ， ， ， ．

（2） ．

（3） 除以3的餘數．

（4） {高一1班同學}， {入學是數學考試成績}， 對自己的考試成績．

在學生作出判斷之後，引導學生髮現映射的性質（教師適當提出研究方向由學生説，再由老師概括）

（板書）3．對概念的認識

（1） 與 是不同的，即 與 上有序的．

（2）象的集合是集合B的子集．

（3）集合A，B可以是數集，也可以是點集或其它集合．

在剛才研究的基礎上，教師再提出（2）和（4）有什麼共性，能否把它描述出來，如果學生不能找出共性，教師可再給出幾個例子，（用投影儀打出）

如：

（1）

（2） {數軸上的點}， 實數與數軸上相應的點對應．

（3） {中國，日本，韓國}， {北京，東京，漢城}， 相應國家的首都．

引導學生在元素之間的對應關係和元素個數上找共性，由學生提出兩點共性集合A中不同的元素對集合B中不同的元素；②B中所有元素都有原象．

那麼滿足以上條件的映射又是一種特殊的映射，稱之為一一映射．

（板書）4．一一映射

（1）定義：設A，B是兩個集合， 是集合A到集合B的映射，如果在這個映射下 對於集合A中的不同元素，在集合B中又不同的象，而且B中每一個元素都有原象，那麼這個映射叫做A到B上的一一映射．

給出定義後，可再返回到剛才的例子，讓學生比較它與映射的區別，從而進一步明確“一一”的含義．然後再安排一個例題．

例1 下列各表表示集合A（元素a）到集合B（元素b）的一個映射，判斷這些映射是不是A到B上的一一映射．

其中只有第三個表可以表示一一映射，由此例點明一一映射的特點

數學教案－映射，標籤：高一數學必修3教案，高一數學必修1教案，

（板書）（2）特點：兩個集合間元素是一對一的關係，不同的對的也一定是不同的（元素個數相同）；集合B與象集C是相等的集合．

對於映射我們現在瞭解了它的定義及特殊的映射一一映射，除此之外對於映射還要求能求出指定元素的象與原象．

（板書）5．求象與原象．

例2 （1）從R到 的映射 ，則R中的—1在 中的象是_____； 中的4在R中的原象是_____．

（2）在給定的映射 下，則點 在 下的象是_____， 點 在 下的原象是______．

（3） 是集合A到集合B的映射， ，則A 中 元素 的象是_____，B中象0的原象是______， B中象—6的原象是______．

由學生先回答第（1）小題，之後讓學生自己總結一下，應用什麼方法求象和原象，學生找到方法後，再在方法的指導下求解另外兩題，若出現問題，教師予以點評，最後小結求象用代入法，求原象用解方程或解方程組．

注意：所解的方程解的情況可能有多種如有唯一解，也可能無解，可能有無數解，這與映射的定義也是相吻合的．但如果是一一映射，則方程一定有唯一解．

三、小結

1．映射是特殊的對應

2．一一映射是特殊的映射．

3．掌握求象與原象的方法．

四、作業：略

五、板書設計

探究活動

（1） {整數}， {偶數}， ，試問 與 中的元素個數哪個多？為什麼？如果我們建立一個由 到 的映射對應法則 乘以2，那麼這個映射是一一映射嗎？

答案：兩個集合中的元素一樣多，它們之間可以形成一一映射．

（2）設 ， ，問最多可以建立多少種集合 到集合 的不同映射？若將集合 改為 呢？結論是什麼？如果將集合 改為 ，結論怎樣？若集合 改為 ， 改為 ，結論怎樣？

從以上問題中，你能歸納出什麼結論嗎？依此結論，若集合A中含有 個元素，集合B中含有 個元素，那麼最多可以建立多少種集合 到集合 的不同映射？

答案：若集合A含有m個元素，集合B含有n個元素，則不同的映射 有 個．