關於空間兩條直線的位置關係教案

作為一名默默奉獻的教育工作者，就難以避免地要準備教案，教案是教材及大綱與課堂教學的紐帶和橋樑。那要怎麼寫好教案呢？以下是小編整理的關於空間兩條直線的位置關係教案，歡迎大家分享。

【課時目標】

1．會判斷空間兩直線的位置關係．

2．理解兩異面直線的定義及判定定理，會求兩異面直線所成的角．

3．能用公理4及等角定理解決一些簡單的相關證明．

1．空間兩條直線的位置關係有且只有三種：________、____________、____________．

2．公理4：平行於同一條直線的兩條直線____________．

3．等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角________．

4．異面直線

(1)定義：________________________的兩條直線叫做異面直線．

(2)判定定理：過平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過該點的直線是______________．

5．異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經過空間任一點O，作直線a′，b′，使__________，__________，我們把a′與b′所成的________________叫做異面直線a與b所成的角．

如果兩條直線所成的角是________，那麼我們就説這兩條異面直線互相垂直，兩條異面直線所成的角α的取值範圍是____________．

練習：

一、填空題

1．若空間兩條直線a，b沒有公共點，則其位置關係是____________．

2．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關係是______________．

3．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，與對角線AC1異面的稜共有________條．

4．空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連結四邊中點的四邊形的形狀是________．

5．給出下列四個命題：

①垂直於同一直線的兩條直線互相平行；

②平行於同一直線的兩直線平行；

③若直線a，b，c滿足a∥b，b⊥c，則a⊥c；

④若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線．

其中假命題的個數是________．

6．有下列命題：

①兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行；

②四條邊相等且四個角也相等的四邊形是正方形；

③經過直線外一點有無數條直線和已知直線垂直；

④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，則OB∥O1B1．

其中正確命題的序號為________．

7．空間兩個角α、β，且α與β的兩邊對應平行且α＝60°，則β為________．

8．已知正方體ABCD—A′B′C′D′中：

(1)BC′與CD′所成的角為________；

(2)AD與BC′所成的角為________．

9．一個正方體紙盒展開後如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：

①AB⊥EF；

②AB與CM所成的角為60°；

③EF與MN是異面直線；

④MN∥CD．

以上結論中正確結論的序號為________．

二、解答題

10．已知稜長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是稜CD、AD的中點．

求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；

(2)∠DNM＝∠D1A1C1．

11．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別是BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大小．

能力提升

12．如圖所示，G、H、M、N分別是正三稜柱的頂點或所在稜的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填序號)．

13．如圖所示，在正方體AC1中，E、F分別是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，則EF和CD所成的角是______．

1．判定兩直線的位置關係的依據就在於兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．另外，我們解決空間有關線線問題時，不要忘了我們生活中的模型，比如説教室就是一個長方體模型，裏面的線線關係非常豐富，我們要好好地利用它，它是我們培養空間想象能力的好工具．

2．在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉化，這是我們學習立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強調的是，兩條異面直線所成角α的範圍為0°<α≤90°，解題時經常結合這一點去求異面直線所成的角的大小．

作異面直線所成的角，可通過多種方法平移產生，主要有三種方法：①直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；②中位線平移法；③補形平移法(在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線)．

空間兩條直線的位置關係 答案

知識梳理

1．相交直線 平行直線 異面直線

2．互相平行 3．相等

4．(1)不同在任何一個平面內 (2)異面直線

5．a′∥a b′∥b 鋭角(或直角) 直角 0°<α≤90°

作業設計

1．平行或異面

2．相交、平行或異面

解析 異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以説明a、b異面，直線c的位置可如圖所示．

3．6

4．矩形

解析

易證四邊形EFGH為平行四邊形．

又∵E，F分別為AB，BC的中點，∴EF∥AC，

又FG∥BD，

∴∠EFG或其補角為AC與BD所成的角．

而AC與BD所成的角為90°，

∴∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形．

5．2

解析 ①④均為假命題．①可舉反例，如a、b、c三線兩兩垂直．

④如圖甲時，c、d與異面直線l1、l2交於四個點，此時c、d異面，一定不會平行；

當點A在直線a上運動(其餘三點不動)，會出現點A與B重合的情形，如圖乙所示，此時c、d共面相交．

6．③

7．60°或120°

8．(1)60° (2)45°

解析

連結BA′，則BA′∥CD′，連結A′C′，則∠A′BC′就是BC′與CD′所成的角．

由△A′BC′為正三角形，

知∠A′BC′＝60°，

由AD∥BC，知AD與BC′所成的角就是∠C′BC．

易知∠C′BC＝45°．

9．①③

解析

把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．

10．

證明 (1)如圖，連結AC，

在△ACD中，

∵M、N分別是CD、AD的中點，

∴MN是三角形的中位線，

∴MN∥AC，MN＝12AC．

由正方體的性質得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．

∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，

∴四邊形MNA1C1是梯形．

(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因為ND∥A1D1，

∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補．

而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的鋭角，

∴∠DNM＝∠D1A1C1．

11．解 取AC的中點G，

連結EG、FG，

則EG∥AB，GF∥CD，

且由AB＝CD知EG＝FG，

∴∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角．

∵AB與CD所成的角為30°，

∴∠EGF＝30°或150°．

由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；

當∠EGF＝150°時，

∠GEF＝15°．

故EF與AB所成的角為15°或75°．

12．②④

解析 ①中HG∥MN．

③中GM∥HN且GM≠HN，

∴HG、MN必相交．

13．45°

解析 連結B1D1，則E為B1D1中點，

連結AB1，EF∥AB1，

又CD∥AB，∴∠B1AB為異面直線EF與CD所成的角，

即∠B1AB＝45°．

（2） ，設切點座標為 ，則切線的斜率為2 ，且 ，於是切線方程為 ，因為點（－1，0）在切線上，可解得 ＝0或－4，代入可驗正D正確，選D。

點評：導數值對應函數在該點處的切線斜率。

例6．（1）半徑為r的圓的面積S(r)＝ r2,周長C(r)=2 r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則( r2)`＝2 r ○1，○1式可以用語言敍述為：圓的面積函數的導數等於圓的周長函數。對於半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似於○1的式子： ○2；○2式可以用語言敍述為： 。

（2）曲線 和 在它們交點處的兩條切線與 軸所圍成的三角形面積是 。

解析：（1）V球＝ ，又 故○2式可填 ，用語言敍述為“球的體積函數的導數等於球的表面積函數。”；

（2）曲線 和 在它們的交點座標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與 軸所圍成的三角形的面積是 。

點評：導數的運算可以和幾何圖形的切線、面積聯繫在一起，對於較複雜問題有很好的效果。

題型4：藉助導數處理單調性、極值和最值

例7．（1）對於R上可導的任意函數f（x），若滿足（x－1） 0，則必有（ ）

A．f（0）＋f（2）2f（1） B. f（0）＋f（2）2f（1）

C．f（0）＋f（2）2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1）

（2）函數 的定義域為開區間 ，導函數 在 內的圖象如圖所示，則函數 在開區間 內有極小值點（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D． 4個

（3）已知函數 。（Ⅰ）設 ，討論 的單調性；（Ⅱ）若對任意 恆有 ，求 的取值範圍。

解析：（1）依題意，當x1時，f（x）0，函數f（x）在（1，＋）上是增函數；當x1時，f（x）0，f（x）在（－，1）上是減函數，故f（x）當x＝1時取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故選C；

（2）函數 的定義域為開區間 ，導函數 在 內的圖象如圖所示，函數 在開區間 內有極小值的點即函數由減函數變為增函數的點，其導數值為由負到正的點，只有1個，選A。

（3）：(Ⅰ)f(x)的定義域為(－∞,1)∪(1,+∞).對f(x)求導數得 f '(x)= ax2+2－a(1－x)2 e－ax。

(?)當a=2時, f '(x)= 2x2(1－x)2 e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大於0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).為增函數；

(?)當0<a<2時, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數.；

(?)當a>2時, 0<a－2a<1, 令f '(x)=0 ,解得x1=－ a－2a, x2=a－2a ；

當x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表:

x(－∞, －a－2a)

(－a－2a,a－2a)(a－2a,1)(1,+∞)

f '(x)＋－＋＋

f(x)????

f(x)在(－∞, －a－2a), (a－2a,1), (1,+∞)為增函數, f(x)在(－a－2a,a－2a)為減函數。

(Ⅱ)(?)當0f(0)=1；

(?)當a>2時, 取x0= 12 a－2a∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1；

(?)當a≤0時, 對任意x∈(0,1),恆有1+x1－x >1且e－ax≥1，

得：f(x)= 1+x1－xe－ax≥1+x1－x >1. 綜上若且唯若a∈(－∞,2]時,對任意x∈(0,1)恆有f(x)>1。

點評：注意求函數的單調性之前，一定要考慮函數的定義域。導函數的正負對應原函數增減。

例8．（1） 在區間 上的最大值是（ ）

(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4

（2）設函數f(x)= （Ⅰ）求f(x)的單調區間；（Ⅱ）討論f(x)的極值。

解析：（1） ，令 可得x＝0或2（2捨去），當－1x0時， 0，當0x1時， 0，所以當x＝0時，f（x）取得最大值為2。選C；

（2）由已知得 ，令 ，解得 。

（Ⅰ）當 時， ， 在 上單調遞增；

當 時， ， 隨 的變化情況如下表：

極大值

極小值

從上表可知，函數 在 上單調遞增；在 上單調遞減；在 上單調遞增。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當 時，函數 沒有極值；當 時，函數 在 處取得極大值，在 處取得極小值 。

點評：本小題主要考查利用導數研究函數的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數學知識解決實際問題的能力。

題型5：導數綜合題

例9．設函數 分別在 處取得極小值、極大值. 平面上點 的座標分別為 、 ，該平面上動點 滿足 ,點 是點 關於直線 的對稱點.求

(I)求點 的座標；

(II)求動點 的軌跡方程.

解析： (Ⅰ)令 解得 ；

當 時, ， 當 時, ，當 時， 。

所以,函數在 處取得極小值,在 取得極大值,故 , 。

所以, 點A、B的座標為 。

（Ⅱ） 設 ， ，

，所以 。

又PQ的中點在 上，所以 ，消去 得 。

點評：該題是導數與平面向量結合的綜合題。

例10．（06湖南卷）已知函數 ,數列{ }滿足: 證明:(?) ；(?) 。

證明: （I）．先用數學歸納法證明 ，ｎ＝1,2,3,…

(i).當n=1時,由已知顯然結論成立。

(ii).假設當n=k時結論成立,即 。

因為0<x<1時， ,所以f(x)在(0,1)上是增函數。

又f(x)在[0,1]上連續，從而 .故n=k+1時,結論成立。

由(i)、(ii)可知， 對一切正整數都成立。

又因為 時， ，所以 ，綜上所述 。

（II）．設函數 ， ，

由（I）知，當 時， ，

從而 所以g (x)在(0,1)上是增函數。

又g (x)在[0,1]上連續,且g (0)=0，所以當 時，g (x)>0成立。

於是 ．故 。

點評：該題是數列知識和導數結合到一塊。

題型6：導數實際應用題

例11．請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六稜柱，上部的形狀是側稜長為3m的正六稜錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心 的距離為多少時，帳篷的體積最大？

本小題主要考查利用導數研究函數的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數學知識解決實際問題的能力。

解析：設OO1為x m,則由題設可得正六稜錐底面邊長為 （單位：m）。

於是底面正六邊形的面積為（單位：m2）：

帳篷的體積為（單位：m3）：

求導數，得 ；

令 解得x=-2(不合題意，捨去),x=2。

當1<x<2時， ,V(x)為增函數；當2<x<4時， ,V(x)為減函數。

所以當x=2時,V(x)最大。

答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大。

點評：結合空間幾何體的體積求最值，理解導數的工具作用。

例12．已知函數f(x)=x + x ，數列｜x ｜(x ＞0)的第一項x ＝1，以後各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在 處的切線與經過（0，0）和（x ,f (x )）兩點的直線平行（如圖）求證：當n 時，

(Ⅰ)x

證明：（I）因為 所以曲線 在 處的切線斜率

因為過 和 兩點的直線斜率是 所以 .

（II）因為函數 當 時單調遞增，而

所以 ，即 因此

又因為 令 則

因為 所以

因此 故

點評：本題主要考查函數的導數、數列、不等式等基礎知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。

題型7：定積分

例13．計算下列定積分的值

（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；

解析：（1）

（2）因為 ，所以 ；

（3）

（4）

例14．（1）一物體按規律x＝bt3作直線運動，式中x為時間t內通過的距離，媒質的阻力正比於速度的平方．試求物體由x＝0運動到x＝a時，阻力所作的功。

（2）拋物線y=ax2＋bx在第一象限內與直線x＋y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達到最大值的a、b值，並求Smax．

解析：（1）物體的速度 。

媒質阻力 ，其中k為比例常數，k>0。

當x=0時，t=0；當x=a時， ，

又ds=vdt，故阻力所作的功為：

（2）依題設可知拋物線為凸形，它與x軸的交點的橫座標分別為x1=0，x2=－b/a，所以 (1)

又直線x＋y=4與拋物線y=ax2＋bx相切，即它們有唯一的公共點，

由方程組

得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判別式必須為0，即(b＋1)2＋16a=0．

於是 代入（1）式得：

令S'(b)=0；在b＞0時得唯一駐點b=3，且當0＜b＜3時，S'(b)＞0；當b＞3時，S'(b)＜0．故在b=3時，S(b)取得極大值，也是最大值，即a=－1，b=3時，S取得最大值，且 。

點評：應用好定積分處理平面區域內的面積。

五．思維

1．本講內容在高考中以填空題和解答題為主

主要考查：

（1）函數的極限；

（2）導數在研究函數的性質及在解決實際問題中的應用；

（3）計算曲邊圖形的面積和旋轉體的體積。

2．考生應立足基礎知識和基本方法的複習，以本題目為主，以熟練技能，鞏固概念為目標。