初中數學以小學數學為基礎，初中生在數學學習中擅長形象思維，初中數學教學在原有知識基礎上，通過數學情境的創設以促進有效的活動體驗，並在此基礎上藉助邏輯推理生成數學認知，是重要的教學思路. 三角形內角和定理是初中數學基礎性內容. 在體驗之後讓學生經過邏輯推理，可以發現任意三角形的內角和均為180°. 這是一個邏輯推理結果為真的陳述. “定理”是本課可以實施認知教學的數學概念.
人教版初中數學教材中，將三角形安排在七年級下冊，這樣的安排顯然是從知識本身來考慮的. 一方面，學生在小學階段已經學過了三角形的相關知識;另一方面，初中階段又對此知識提出了新的要求. 如何在學生已有的知識基礎和生活經驗基礎之上，將三角形這一“冷飯”炒出新味，是數學教師需要認真考慮的問題. 筆者分析了學生在小學階段的學習情況(主要依據教材設計與對學生的口頭調查)，感覺初中階段的設計思路既要依靠學生原來的知識，同時又不能忽視基本的體驗，更重要的是要促成數學認知的形成，這樣才能使三角形的知識在學生的數學知識體系中成為一個堅實的結點，進而提升學生的數學學習品質. 本文試以“三角形的內角”這一知識點為例，談談筆者的教學思路.
關注已有認知基礎
三角形的內角在小學數學中已有涉及，對其內角和為180°也已經有了測量、剪紙等方法證明，也就是説初中階段這一知識點的教學結果，學生是已知的. 這就對實際教學提出了一個挑戰，如何讓學生在初中階段這一知識的學習中有新的收穫，將直接決定着學生在這一階段的學習狀態，也關係到學生對初中數學的認識.
實際上，這裏涉及了兩個層面：一是知識層面;二是學生的學習心理層面. 這也是以“認知基礎”這一概念來界定的重要原因. 知識層面自不待言，結果都已經知道了，似乎就沒有什麼好學的了;心理層面除了關係到學生的學習狀態之外，對教師的挑戰在於應當設計什麼樣的學習過程，以將學生吸引到學習過程中來. 仔細研究學生已有的學習過程，會發現學生原有的學習過程有兩個重點：一是在教師指導下的剪紙活動;二是教師要求下的結果記憶. 而這樣導致的結果就是學生到了初中之後，一般只記得結果而忘記了過程. 於是教學思路也就相對明晰了：初中階段對三角形的內角的教學，應當重在學習過程的設計，應當重在學生體驗的設計，應當努力讓學生在自主性發揮的基礎上，能夠對三角形內角和產生更為深刻的數學認識.
宏觀思路已定，那下面的重點就是教學環節的設計了.
設計新的體驗情境
情境對於學生構建數學知識的意義是不言而喻的，尤其是對於初中學生而言，形象生動的情境，往往能夠讓學生的形象思維得到充分的運用，從而實現有效或高效學習. 那麼，對於三角形的內角這一知識而言，可以設計什麼樣的情境呢?
《義務教育數學課程標準》(2011版)在描述課程設計思路的時候，有這樣的一段描述：“在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程.” 這段描述對於初中數學的隱喻意義是深刻的，初中數學只有重視學生的體驗，才能讓學生在構建從生活數學到抽象數學的過程中有所依靠，也就是説只有體驗，才能讓擅長於形象思維的初中學生思之有物，進而思之有果. 既然如此，三角形的內容就可以以學生的體驗為突破口，去設計教學過程.
幾經思考，筆者創設的體驗情境是這樣的：第一步，給出用長木條構成的三角形、四邊形、五邊形(接頭處打孔穿螺絲)等學具，每組各一個，由學生自己去擺弄. 學生自然會發現穩定性不同，這樣就可以通過穩定性將學生的注意力吸引到三角形上來. 這一步花費也就一兩分鐘的時間，卻可以瞬間凝聚學生的注意力. 第二步，讓學生將給出的四邊形變形為長方形，並向學生提出問題：此時長方形的四個角之和為多少度?學生稍加盤算就知道是360°(因為四個角都是90°). 第三步，讓學生觀察三角形，並提出問題：三角形的內角和為多少度?這一步需要給出充分的時間讓學生去觀察思考. 教學實踐表明，此時學生觀察的對象就是三角形與長方形，他們會下意識地將兩者進行比較. 而這種下意識的行為，正是本情境需要的關鍵——只有在這種狀態下，學生的體驗才是真實的、自然的，也才能為後面的學習奠定基礎. 如果不出意外，此時會有數個數學基礎較好的學生有新的點子出來，比如説有學生會用一支筆充當長方形的對角線，進而發現其變成了兩個三角形. 由於長方形的`四個角是360°，那兩個三角形的內角就分別應當是180°了.
體驗至此，本環節似乎也就結束了，而這樣的設計似乎也看不出什麼新的創意. 事實並非如此，因為筆者發現新的驚喜常常會悄然而生.
引向數學邏輯途徑
就在大部分人以為問題已經解決了的時候，筆者拋出一個問題：三角形的內角一定是180°嗎?會不會這個三角形與那個三角形的內角和不一樣?
應當説這是一個非常規的“古怪”問題，而筆者感覺這個問題看起來似乎沒有道理，但其實卻給出了一個重要命題：要求三角形的內角和，那實際上有一個前提，即所有三角形的內角和應當是一樣的，只有這樣，這個問題才有意義;反之，如果三角形的內角和不具有固定結果的特徵，那本問題就沒有價值了.
事實上，在教學中，這個問題也確實讓原本柳暗花明的課堂又進入了山重水複的狀態. 學生會發現，剛才的體驗已經不能解決這個問題. 也正是在這種情況下，有學生回憶起了之前用過的剪紙法，並且當眾給出了剪紙法的操作. 在這個學生的示範之下，絕大多數學生都回憶起了當時的這段體驗，並進而否定了筆者的問題：你看，任意給出一個三角形，用剪紙法可以得到三角之和都是180°.
應當説學生此前的體驗加上此時的演示，已經讓學生的學習經過了一個充分體驗的過程，在這個過程中學生對三角形的內角尤其是內角和的認識已經積累了大量感性的認識，下面要做的就是理性思考. 而這一過渡應當由教師的問題來過渡，問題很簡單：無論是剪紙法，還是用量角器去測量，或者用簡單的邏輯推理，都無法得出三角形內角和的一般規律，只有通過嚴謹且符合邏輯的數學證明，才能為問題的解決找到最佳的答案. 於是，學生的思路就被引向了數學推理.
下面的教學思路是明確的，關鍵在於教師如何引導學生自主發現證明方法. 比如説，怎樣才能讓學生想到過三角形某個頂點作另一邊的平行線呢?或者説怎樣才能讓學生想到延長某條邊，然後過該頂點作另一對邊的平行線呢?事實上，本證明中，這才是關鍵，一旦給出了這條輔助線，下面就只是平行線定理的相關應用了. 因此，筆者設計引導學生自主思考平行線的作出，為本環節教學的重點. 具體的引導是這樣的：現在的基本思路是證明三角形的內角和是180°，但在我們面前並沒有現成的180°的角. 但是我們心中又是有180°角的，請同學們構思一下180°的角是什麼樣子. 學生很快就能想到其實就是一條直線(也有學生想象成一條射線轉過180°). 於是再給出下面的問題：怎樣才能將三角形的三個內角與大腦中構思的180°角聯繫起來?事實上，在這個問題拋出之後，學生更多想到的是第二種思路，即確定任意一個頂點，然後延長某個邊，再要想的辦法就是將另兩個內角“轉移”到這個地方來. 顯然，這就要將外角分成兩個角，如果兩個角的大小恰好等於另兩個內角，那麼問題就迎刃而解了.
問題分析到這裏，絕大多數學生的思路就清晰了，剛剛學過的平行線的知識，立即就在此發揮了作用. 待平行線作出，利用同位角和內錯角的關係，答案順利得出. 且同時能夠回答那個“古怪”的問題：任意三角形的內角和都應當是180°，因為任意三角形都可以通過此方法來證明.
實現數學認知形成
經過了體驗與邏輯推理之後，學生的基本認識已經形成，下面要做的事情就是將體驗認識上升為數學語言. 就本知識而言，“三角形三個內角的和等於180°”的語言可以順利獲得，因為這樣的描述既是生活語言，也是數學語言. 筆者確定的重點在“三角形內角和定理”這一概念上，在初中數學教學中，學生對“定理”這一概念的認識並不深刻，尤其是在七年級階段，學生還只認為其為一普通概念，因此，筆者認為此時是一個加強學生認識定理概念的機會.
所謂定理，即為經過邏輯證明且為真的陳述. 在剛才的學習過程中，學生通過體驗加邏輯推理獲得了三角形內角和的一般規律，結果顯然為真，於是告訴學生數學上對於此類命題，都會以定理稱之. 換句話説，以後遇到類似的經過邏輯推理且結果正確的，一般都可以冠之以定理之稱. 通過這樣的認知生成，讓學生認識到數學有本身固有的語言. 而這種概念性的數學語言，是可以在學生的數學學習中起到催化作用的，數學認知結構的構建，正是建立在此類數學語言基礎之上的.
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