初中函數概念的教學分析和教學設計

初中函數概念的教學分析和教學設計

我們先了解一下函數形成的簡要歷史：

1、函數是從研究各種運動問題中產生的。

2、函數概念經歷了這樣幾個階段：①把研究的曲線當作函數；②把由一個變量和一些常量以任何方式形成的解析表達式作為函數；③用對應關係定義的函數；④用集合定義的函數。實際上函數概念到此還沒有終結，還在發展。分析函數概念的形成歷史，我們可以看出幾點：

1、函數概念的形成是由研究靜止現象到研究運動、變化現象的結果；

2、函數概念的形成是人類活動不斷深化的結果，是人類思維能力和認識能力提高的結果。

基於函數形成的歷史，使我們認識到要使學生形成清晰的函數概念，必須使學生經歷由常量數學到變量數學的轉變，而要使學生實現這種觀念上的質的飛躍，必定要經歷一個困難的過程。困難主要表現在：①長時間處理常量數學問題使學生形成了靜止、孤立、片面看問題的固定思維方式；②思維能力水平的制約。初中學生的整體思維能力還不高，一方面，初中學生的思維從初一到初三由藉助於具體形象，具體的事例進行思維活動向抽象思維發展；另一方面，在學生學習了推理後，學生的思維由雜亂向有序發展，隨着概念的不斷豐富，推理能力的不斷提高，學生逐步形成了邏輯思維能力，但要使學生理解函數概念，只是具備這些條件是不行的，學生還必須具有辨證思維的能力。

函數概念由模糊到清晰經歷了近300年就説明了困難的程度。我們都知道，觀念上的轉變是非常困難的，所以要使學生實現觀念上的轉變，首要的任務是使學生接觸運動現象，認識運動現象，思考運動現象，這樣才能使學生認識變量的存在，然後逐步使學生理解變量的意義，實現由常量到變量的轉變。然後使學生認識到運動變化過程中確實存在相互聯繫的量，實現由習慣於處理靜止現象到處理運動現象的過渡，促進學生運動觀的形成，這樣才有可能使學生理解函數的意義；另外，還必須切實提高學生的思維水平。

在處理函數概念時，把函數概念分為兩個階段：初中階段和高中階段。對初中學生來説，只要使初中學生認識到：

（1）問題中所研究的兩個變量是相互聯繫的。

（2）其中一個變量變化時，另一個變量也隨着發生變化。

（3）對第一個變量在某一範圍內的每一個確定的值，第二個變量都有唯一確定的值與它對應即可。初中階段主要使學生能處理能用解析式表達的函數即可。要使學生掌握幾類簡單的函數：正比例函數、反比例函數、簡單的二次函數，理解他們的定義，知道它們的圖象和性質，會用它們的圖形和性質解答一些生活和其他學科中的簡單問題就行了。

研究函數既要用到代數的方法又要用到幾何的方法，所以要使學生學好函數的知識，就必須使學生不僅熟練掌握代數和幾何的方法，還要使學生理解代數和幾何之間的關係，融合代數方法和幾何方法，而這對於一般的學生來説難度是比較大的。

基於以上分析，我們作為一名初中教師，在實施函數教學時，要把握好初中函數教學的度，要根據初中學生的思維特點和知識結構進行教學過程設計。

下面筆者就談談自己對函數概念教學的處理方式。

一、滲透階段，使學生逐漸認識變量及變量之間的相互關係

對字母表示數的認識，是學生體驗、認識變量的開端，在這段內容的教學中教師要促使學生感受到變量的意義，體驗變量的概念。在代數式的值的教學中再強化變量的意義，再讓學生通過代數式的值與代數式中字母取值的之間的相互依賴關係，感受到變量之間的相互聯繫。再在方程特別是二元一次方程的學生中，進一步促進學生認識兩個量之間是相互關聯的，體會到兩個變量之間的相互依存關係。

二、強化階段，促進學生對變量之間的關係的認識，形成事物之間是相互聯繫的認識

到了初二開始學習幾何，在幾何教學中，函數關係的例子非常多。像中點的定義、角的平分線的定義就揭示兩個量之間的關係；還有兩個角互餘、互補，揭示的都是兩個變量之間的關係。像平行線四邊形的性質，中位線定理等等都藴涵着函數關係。作為教師，一方面要在學習這些知識的過程中有意識地不斷滲透變量的意識——即在現實生活中存在着大量變量，且變量之間並不是獨立的，而是相互聯繫的；另一方面，通過這些知識使學生熟悉把幾何問題代數化的方法，為函數的代數和幾何方法的結合打好基礎，為後來函數的學習作好充分的準備。

函數概念的形成首先與物理學的發展是有關的。對運動的研究的不斷深入，使人們逐漸認識到變量的存在和意義，對多種事物研究和思考，使人們認識事物之間是相互聯繫的，而不是獨立的，這些思想的形成和深化是函數思想的形成的直接原因。所以用物理上的知識滲透變量意識、變量是相互聯繫的意識，是非常直觀且有效的方法。像運動過程中的路程、速度和時間之間的關係就是典型的函數關係；力、壓強和受力面積之間的關係也是典型的函數關係；等等，物理上很多知識都是促成學生函數概念形成的好素材。這就要求教師要熟悉函數的形成史，從多方面進行滲透，強化變量之間是存在相互聯繫的觀念。

三、形成階段，形成對函數概念的認識

在學生產生了變量意識、一些變量之間是存在相互聯繫的意識之後，學生對函數概念的理解的準備工作已經基本作好，就可以講授函數的概念了。但教師在教授函數概念時，要在複習前面的相關知識的基礎上重點強化上面的兩種意識，讓學生清醒的感受到這兩種意識，然後在教給學生自變量、函數一些名稱，並訓練學生運用這些名詞來敍述變量之間的關係，熟悉函數的相關概念，當然學生這時對函數的理解還並不清晰。

然後，教師在以後的具體函數的教學中不斷使學生理解函數概念的內涵。像正比例函數，是一類最簡單的函數，在實際生活中大量存在，例如，在相似三角形中，每一對對應邊的數量關係就構成了正比例函數關係；在直角三角形中30角所對直角邊與斜邊之間也是正比例函數關係，等等。用這些具體例子使學生清楚的認識到兩個變量之間的具體聯繫，認識到它們的共同特徵，學生對函數概念就會逐漸理解，並且通過這些實例理解函數的性質更直觀，在通過後面的反比例函數、二次函數的教學進一步促進學生理解函數概念的實質，這樣可以加強學生對函數性質的'理解。再者，這時初三物理中也有很多各類函數的例子，教師只要能從整體上把握教學，就可以挖掘出各種具體的材料和方法，使學生能更深刻認識函數的內涵和外延。

四、逐漸適應函數的學習方法

學習函數的方法與以前學習代數和幾何的方法有着明顯的不同。如函數的表達方式就是多樣化的，有列表法，圖像法，解析式法等，學生在一開始會不適應，所以在教函數學時要使學生逐漸適應這種多樣化，使學生逐漸認識到這些方法的作用，瞭解各種方法在不同情況下使用，會用不同的方法表示函數。

數形結合法是學習函數的重要方法，這和前面的代數方法和幾何方法明顯不同，對這種方法的適應需要一定的時間，因為學生對一個式子和一個幾何圖形之間的對應還不適應，在教學時要使學生逐漸認識到一個解析式和一個圖形之間的對應關係，在正比例函數、反比例函數、二次函數的學習過程中使學生認識到具體的對應關係：一次函數與一條直線對應，反比例函數與雙曲線對應，一個關於x的二次函數與拋物線對應。通過這幾類特殊的函數的學習使學生不斷認識到圖像的作用，從而逐漸適應這種方法，體會到這種方法的優點：解析式準確簡潔，圖像形象直觀，通過數形結合法使學生認識到代數方法和幾何的方法各自的作用及相互結合的優點。

通過上面的分析可以看出：函數概念的學習既要有觀念上的轉變，又要具備更強的抽象思維能力，提高學生的抽象思維能力和學生的認識能力是使學生形成函數思想的基礎，所以教師在代數和幾何教學過程中要切實把提高學生的思維能力和認識能力作為一項重要任務，把知識傳授和思維能力培養有機結合起來，既促進學生形成知識結構，又使學生形成相應的能力結構，實現觀念的轉變。這就要求教師要從整體上把握教材，有一個整體教學計劃，使教學活動成為一個有機整體，這樣才能在教學活動中真正有效的提高學生的素質。