高一數學立體幾何課件

高一數學立體幾何課件

第一章 直線和平面 兩個平面平行的性質教案

教學目標

1．使學生掌握兩個平面平行的性質定理及應用；

2．引導學生自己探索與研究兩個平面平行的性質定理，培養和發展學生髮現問題解決問題的能力．

教學重點和難點

重點：兩個平面平行的性質定理；

難點：兩個平面平行的性質定理的證明及應用．

教學過程

一、複習提問

教師簡述上節課研究的主要內容（即兩個平面的位置關係，平面與平面平行的定義及兩個平面平行的判定定理），並讓學生回答：

（1）兩個平面平行的意義是什麼？

（2）平面與平面的判定定理是怎樣的？並用命題的形式寫出來？

（教師板書平面與平面平行的定義及用命題形式書寫平面與平面平行的判定定理）

目的：

（1）通過學生回答，來檢查學生能否正確敍述學過的知識，正確理解平面與平面平行的判定定理．

（2）板書定義及定理內容，是為學生猜測並發現平面與平面平行的`性質定理作準備）

二、引出命題

（教師在對上述問題講評之後，點出本節課主題並板書，平面與平面平行的性質）

師：從課題中，可以看出，我們這節課研究的主要對象是什麼？

生：兩個平面平行能推導出哪些正確的結論．

師：下面我們猜測一下，已知兩平面平行，能得出些什麼結論．

（學生議論）

師：猜測是發現數學問題常用的方法．“沒有大膽的猜想，就作不出偉大的發現．”但猜想不是盲目的，有一些常用的方法，比如可以對已有的命題增加條件，或是交換已有命題的條件和結

論．也可通過類比法即通過兩個對象類似之處的比較而由已經獲得的知識去引出新的猜想等來得到新的命題．

（不僅要引導學生猜想，同時又給學生具體的猜想方法）

師：前面，複習了平面與平面平行的判定定理，判定定理的結論是兩平面平行，這對我們猜想有何啟發？

生：由平面與平面平行的定義，我猜想：兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行於另一個面．

師：很好，把它寫成命題形式．

（教師板書並作圖，同時指出，先作猜想、再一起證明）

猜想一：

已知：平面α∥β，直線a

求證：a∥β．

生：由判定定理“垂直於同一條直線的兩個平面平行”．我猜想：一條直線垂直於兩個平行平面中的一個平面，它也垂直於另一個平面．

[教師板書] α，

猜想二：

已知：平面α∥β，直線l⊥α．

求證：l⊥β．

師：這一猜想的已知條件不僅是“α∥β”，還加上了“直線l⊥α”．下面請同學們看課本上關於判定定理“垂直於同一直線的兩平面平行”的證明．在證明過程中，“平面γ∩α=a，平面γ∩β=a′”．a與a′是什麼關係？

生：a∥a′．

師：若改為γ不是過AA′的平面，而是任意一個與α，β都相交的平面γ．同學們考慮一下是否可以得到一個猜想呢？

（學生討論）

生：如果一個平面與兩個平行平面中的一個相交，也必與另一個平面相交．”

[教師板書]

猜想三：

已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，求證：γ與β一定相交．

師：怎麼作這樣的猜想呢？

生：我想起平面幾何中的一個結論：“一條直線與兩條平行線中的一條相交，也必與另一條相交．”

師：很好，這裏實質用的是類比法來猜想．就是把原來的直線類似看作平面．兩平行直線類似看作兩個平行平面，從而得出這一猜想．大家再考慮，猜想三中，一個平面與兩個平行平面相交，得到的交線有什麼位置關係？

生：平行

師：請同學們表達出這個命題．

生：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行．

[教師板書]

猜想四：

已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b．

求證：a∥b．

[通過複習定理的證明方法，既發現了猜想三，猜想四，同時又複習了定理的證明方法，也為猜想四的證明，作了鋪墊]

師：在得到猜想三時，我們用到了類比法，實際上，在立體幾何的研究中，將所要解決的問題與平面幾何中的有關問題作類比，常常能給我們以啟示，發現立體幾何中的新問題．比如：在平面幾何中，我們有這樣一條定理：“夾在兩條平行線間的平行線段相等”，請同學們用類比的方法，看能否得出一個立體幾何中的猜想？

生：把兩條平行線看作兩個平行平面，可得猜想：夾在兩個平行平面間的平行線段相等．

[教師板書]

猜想五：

已知：平面α∥β，AA′∥BB′，且A，B∈α，B，B′∈β．

求證：AA′=BB′．

[該命題，在教材中是一道練習題，但也是平面與平面平行的性質定理，為了完整體現平面與平面平行的性質定理，故爾把它放在課堂上進行分析]

三、證明猜想

師：通過分析，我們得到了五個猜想，猜想的結論往往並不完全可靠．得到猜想，並不意謂着我們已經得到了兩個平面平行的性質定理，下面主要來論證我們得到的猜想是否正確．

[師生相互交流，共同完成猜想的論證]

師：猜想一是由平面與平面平行的定義得到的，因此在證明過程中要注意應用定義．

[猜想一證明]

證明：因為α∥β，

所以α與β無公共點．

又  因為a α，

所以  a與β無公共點．

故  a∥β．

師：利用平面與平面平行的定義及線面平行的定義，論證了猜想一的正確性．這便是平面與平面平行的性質定理一．簡言之，“面面平行，則線面平行．”

[教師擦掉“猜想一”，板書“性質定理一”]

[論證完猜想一之後，教師與學生共同研究了“猜想二”，發現，若論證了“猜想四”的正確性質，“猜想二”就容易證了，因而首先討論“猜想三，猜想四”]

師：“猜想三”是類比平面幾何中的結論得到的，還記得初中時，是怎麼證明的？

[學生回答：反證法]

師：那麼，大家可否類比初中的證明方法來證明“猜想三”呢？

生：用反證法：假設γ與β不相交，則γ∥β．這樣過直線a有兩個平面α和γ與β平行．與“過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行”矛盾．故γ與β相交．

師：很好．由此可知：不只是發現問題時可用類比法，就是證明方法也可用類比方法．不過猜想三，雖已證明為正確的命題，但教材中並把它作為平面與平面平行的性質定理，大家在今後應用中要注意．

[猜想四的證明]

師：猜想四要證明的是直線a∥b，顯然a，b共面於平面γ，只需推導出a與b無公共點即可． 生：（證法一）

因為  a∥β，

所以  a與β無公共點．