摘要：研究了一類具有無理非線性恢復力的幾何非線性系統的Hop盼岔問題，首先，應用Lagrange方程建立了幾何非線性動力學運動微分方程，分析了平衡點的分岔及穩定性等複雜動力學行為，利用泰勒級數對原系統逼近並進行五次截斷，引 del Pol阻尼擾動得到五次非線性Lienard系統，然後利用Hop盼岔理論，得到了系統在分岔突變點附近的三個Hop盼岔曲面，在分岔曲面上，系統平衡點穩定性發生改變並在平衡點附近出現極限環。
關鍵詞：幾何非線性系統；五次非線性；Hopf分岔；極限環；Runge-Kutta法
幾何非線性是當代科學技術與工程應用中經常遇到的重要非線性因素，與材料非線性、接觸非線性構成工程應用研究中的三大非線性問題，基於無理非線性特性出現了一類嶄新的幾何非線性動力系統，並且該系統被命名為SD（Smooth anddiscontinuous）振子及SD吸引子，該振子依賴於系統參數表現出光滑動力學到不連續動力學的轉遷特性。
文章研究非線性Van del Pol阻尼擾動的耦合SD振子的Hopf分岔，理論分析得到系統的多Hopf分岔行為，數值模擬驗證幾何非線性系統的多極限環共存現象。
1.幾何非線性動力學系統
1.1力學模型
基於SD振子力學模型，我們建立了幾何非線性動力學系統（或耦合SD振子）的力學模型，它由一個質量塊m和連接於質量塊的一對傾斜且能夠被拉壓彈簧上構成.彈簧的剛度係數和自然長度分別為k和L，末端固定在一個剛性底座上，雖然彈簧提供線性回覆力，但是由於模型幾何非線性構型的改變使作用在質量塊上的水平方向的力表現為強無理非線性特性。
2.幾何非線性系統的運動微分方程為
Hopf分岔理論研究的是自治系統平衡點解分岔產生穩態週期解的問題，基本思想是基於經典穩定性理論，從方程的攝動方程零解穩定性來判別平衡點解的穩定性證明了系統在分岔值處將從平衡點解分岔出一個非常量的週期解，即對應系統的極限環，系統發生振盪或振盪失穩。因此追蹤系統平衡解流形、確定分岔點位置，對於瞭解無理非線性系統穩定性及其變化規律有重要的意義。
3.結語
文章分析了未擾動幾何非線性系統的光滑與不連續動力學轉遷特性，包括平衡點分岔、恢復力及勢能函數，給出了Vander Pol阻尼擾動下系統的HoDf分岔條件.理論結果為幾何非線性系統的Hopf分岔及穩定性的控制與設計參數選取提供理論依據。
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