雙曲線的幾何性質教案

作為一名為他人授業解惑的教育工作者，就不得不需要編寫教案，編寫教案助於積累教學經驗，不斷提高教學質量。那麼大家知道正規的教案是怎麼寫的嗎？以下是小編精心整理的雙曲線的幾何性質教案，供大家參考借鑑，希望可以幫助到有需要的朋友。

雙曲線的幾何性質教案1

㈠課時目標

1．熟悉雙曲線的幾何性質。

2．能理解離心率的大小對雙曲線形狀的影響。

3．能運用雙曲線的幾何性質或圖形特徵，確定焦點的位置，會求雙曲線的標準方程。

㈡教學過程

[情景設置]

敍述橢圓的幾何性質，並填寫下表：

方程

性質

圖像（略）

範圍-a≤x≤a，-b≤y≤b

對稱性對稱軸、對稱中心

頂點（±a,0）、（±b,0）

離心率e=(幾何意義)

[探索研究]

1．類比橢圓的幾何性質，探討雙曲線的幾何性質：範圍、對稱性、頂點、離心率。

雙曲線的實軸、虛軸、實半軸長、虛半軸長及離心率的定義。

雙曲線與橢圓的幾何性質對比如下：

方程

性質

圖像（略）（略）

範圍-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R

對稱性對稱軸、對稱中心對稱軸、對稱中心

頂點（±a,0）、（±b,0）（-a,0）、（a,0）

離心率0＜e=＜1

e=＞1

下面繼續研究離心率的幾何意義：

（a、b、c、e關係：c2=a2+b2, e=＞1）

2.漸近線的發現與論證

根據橢圓的上述四個性質，能較為準確地把畫出來嗎？（能）

根據上述雙曲線的四個性質，能較為準確地把畫出來嗎？（不能）

通過列表描點，能把雙曲線的頂點及附近的點，比較精確地畫出來，但雙曲線向何處伸展就不很清楚。

我們能較為準確地畫出曲線y=,這是為什麼？（因為當雙曲線伸向遠處時，它與x軸、y軸無限接近）此時，x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。

問：雙曲線有沒有漸近線呢？若有，又該是怎樣的直線呢？

引導猜想：在研究雙曲線的範圍時，由雙曲線的標準方程可解出：

y=± =±

當x無限增大時，就無限趨近於零，也就是説，這是雙曲線y=±

與直線y=±無限接近。

這使我們猜想直線y=±為雙曲線的漸近線。

直線y=±恰好是過實軸端點A1、A2，虛軸端點B1、B2，作平行於座標軸的直線x=±a, y=±b所成的矩形的兩條對角線，那麼，如何證明雙曲線上的點沿曲線向遠處運動時，與漸近線越來越接近呢？顯然，只要考慮第一象限即可。

證法1：如圖，設M（x0,y0）為第一象限內雙曲線上的仍一點，則

y0=，M（x0,y0）到漸近線ay-bx=0的距離為：

∣MQ∣= =

=．

點M向遠處運動，x0隨着增大，∣MQ∣就逐漸減小，M點就無限接近於y=

故把y=±叫做雙曲線的漸近線。

3．離心率的幾何意義

∵e=，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得===

e越小（接近於1）越接近於0，雙曲線開口越小（扁狹）

e越大越大，雙曲線開口越大（開闊）

4．鞏固練習

求下列雙曲線的漸近線方程，並畫出雙曲線。

①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4

已知雙曲線的漸近線方程為x±2y=0，分別求出過以下各點的雙曲線方程

①M（4，）②M（4，）

[知識應用與解題研究]

例1求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點座標、離心率、漸近線方程。

例2雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉而成的曲面，如圖；它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m,選擇適當的座標系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）

㈣提煉總結

1.雙曲線的幾何性質及a、b、c、e的關係。

2.漸近線是雙曲線特有的性質，其發現證明藴含了重要的數學思想與數學方法。

3.雙曲線的幾何性質與橢圓的幾何性質類似點和不同點。

雙曲線的幾何性質教案2

雙曲線的幾何性質（第1課時）

㈠課時目標

1．熟悉雙曲線的幾何性質。

2．能理解離心率的大小對雙曲線形狀的影響。

3．能運用雙曲線的幾何性質或圖形特徵，確定焦點的位置，會求雙曲線的標準方程。

㈡教學過程[情景設置]

敍述橢圓 的幾何性質，並填寫下表：方程性質

圖像（略）範圍-a≤x≤a，-b≤y≤b對稱性對稱軸、對稱中心頂點（±a,0）、（±b,0）離心率e=(幾何意義)

[探索研究]1．類比橢圓 的幾何性質，探討雙曲線 的幾何性質：範圍、對稱性、頂點、離心率。 雙曲線的實軸、虛軸、實半軸長、虛半軸長及離心率的定義。雙曲線與橢圓的幾何性質對比如下： 方程性質

圖像（略） （略）範圍-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R對稱性對稱軸、對稱中心對稱軸、對稱中心頂點（±a,0）、（±b,0）（-a,0）、（a,0）離心率0＜e=＜1e=＞1

下面繼續研究離心率的幾何意義：（a、b、c、e關係：c2=a2+b2, e=＞1）

2.漸近線的發現與論證根據橢圓的上述四個性質，能較為準確地把 畫出來嗎？（能）根據上述雙曲線的四個性質，能較為準確地把 畫出來嗎？（不能）通過列表描點，能把雙曲線的頂點及附近的點，比較精確地畫出來，但雙曲線向何處伸展就不很清楚。我們能較為準確地畫出曲線y=,這是為什麼？（因為當雙曲線伸向遠處時，它與x軸、y軸無限接近）此時，x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。問：雙曲線 有沒有漸近線呢？若有，又該是怎樣的直線呢？引導猜想：在研究雙曲線的範圍時，由雙曲線的標準方程可解出：y=± =± 當x無限增大時， 就無限趨近於零，也就是説，這是雙曲線y=± 與直線y=± 無限接近。這使我們猜想直線y=± 為雙曲線的漸近線。直線y=± 恰好是過實軸端點A1、A2，虛軸端點B1、B2，作平行於座標軸的直線x=±a, y=±b所成的矩形的兩條對角線，那麼，如何證明雙曲線上的點沿曲線向遠處運動時，與漸近線越來越接近呢？顯然，只要考慮第一象限即可。證法1：如圖，設M（x0,y0）為第一象限內雙曲線 上的仍一點，則y0= ，M（x0,y0）到漸近線ay-bx=0的距離為：∣MQ∣= == ． 點M向遠處運動， x0隨着增大，∣MQ∣就逐漸減小，M點就無限接近於 y=故把y=± 叫做雙曲線 的漸近線。

3．離心率的幾何意義∵e=，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得 ===e越小（接近於1） 越接近於0，雙曲線開口越小（扁狹）e越大 越大，雙曲線開口越大（開闊）

4．鞏固練習 求下列雙曲線的漸近線方程，並畫出雙曲線。 ①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4 已知雙曲線的漸近線方程為x±2y=0，分別求出過以下各點的雙曲線方程 ①M（4， ） ②M（4， ）[知識應用與解題研究]例 1 求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點座標、離心率、漸近線方程。例2 雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉而成的曲面，如圖；它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m,選擇適當的座標系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）

㈣提煉總結

1.雙曲線的幾何性質及a、b、c、e的關係。

2.漸近線是雙曲線特有的性質，其發現證明藴含了重要的數學思想與數學方法。

3.雙曲線的`幾何性質與橢圓的幾何性質類似點和不同點。

雙曲線的幾何性質教案3

一、課前預習目標

理解並掌握雙曲線的幾何性質，並能從雙曲線的標準方程出發，推導出這些性質，並能具體估計雙曲線的形狀特徵。

二、預習內容

1、雙曲線的幾何性質及初步運用。

類比橢圓的幾何性質。

2。雙曲線的漸近線方程的導出和論證。

觀察以原點為中心，2a、2b長為鄰邊的矩形的兩條對角線，再論證這兩條對角線即為雙曲線的漸近線。

三、提出疑惑

同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中

課內探究

1、橢圓與雙曲線的幾何性質異同點分析

2、描述雙曲線的漸進線的作用及特徵

3、描述雙曲線的離心率的作用及特徵

4、例、練習嘗試訓練：

例1。求雙曲線9y2—16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點座標、離心率、漸近線方程。

解：

解：

5、雙曲線的第二定義

1）、定義（由學生歸納給出）

2）、説明

（七）小結（由學生課後完成）

將雙曲線的幾何性質按兩種標準方程形式列表小結。

作業：

1、已知雙曲線方程如下，求它們的兩個焦點、離心率e和漸近線方程。

（1）16x2—9y2=144；

（2）16x2—9y2=—144。

2、求雙曲線的標準方程：

（1）實軸的長是10，虛軸長是8，焦點在x軸上；

（2）焦距是10，虛軸長是8，焦點在y軸上；

曲線的方程。

點到兩準線及右焦點的距離。