第一章 隨機事件與概率
1．對立事件與互不相容事件有何聯繫與區別？
它們的聯繫與區別是：
（1）兩事件對立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必對立。
（2）互不相容的概念適用於多個事件，但對立的概念僅適用於兩個事件。
（3）兩個事件互不相容只表示兩個事件不能同時發生，即至多隻能發生其中一個，但可以都不發生。而兩個事件對立則表明它們有且僅有一個發生，即肯定了至少有一個發生。特別地，=A、AU= 、AI=φ。
2．兩事件相互獨立與兩事件互不相容有何聯繫與區別？
兩事件相互獨立與兩事件互不相容沒有必然的聯繫。我們所説的兩個事件A、B相互獨立，其實質是事件A是否發生不影響事件B發生的概率。而説兩個事件A、B互不相容，則是指事件A發生必然導致事件B不發生，或事件B發生必然導致事件A不發生，即AB=φ，這就是説事件A是否發生對事件B發生的概率有影響。
3．隨機事件與樣本空間、樣本點有何聯繫？
所謂樣本空間是指：隨機試驗的所有基本事件組成的集合，常用 來記。其中基本事件也稱為樣本點。而隨機事件可看作是有樣本空間中具有某種特性的樣本點組成的集合。通常稱這類事件為複合事件；只有一個樣本點組成的集合稱為基本事件。在每次試驗中，一定發生的事件叫做必然事件，記作 。而一定不發生的事件叫做不可能事件，記作φ。為了以後討論問題方便，通常將必然事件和不可能事件看成是特殊的隨機事件。這是由於事件的性質
隨着試驗條件的變化而變化，即：無論是必然事件、隨機事件還是不可能事件，都是相對“一定條件”而言的。條件發生變化，事件的性質也發生變化。例如：拋擲兩顆骰子，“出現的點數之和為3點”及“出現的點數之和大於33點”，則是不可能事件了；而“出現的點數之和大於3點”則是必然事件了。而樣本空間中的樣本點是由試驗目的所確定的.。例如：
（1）={3，4，5，L，18}。
（2）將一顆骰子連續拋擲三次，觀察六點出現的次數，其樣本空間為 ={0，1，2，3}。
在（1）、（2）中同是將一顆骰子連續拋擲三次，由於試驗目的不同，其樣本空間也就不一樣。
4．頻率與概率有何聯繫與區別？
事件A的概率是指事件A在一次試驗中發生的可能性大小，其嚴格的定義為：
概率的公理化定義：設E為隨機試驗， 為它的樣本空間，對E中的每一個事件A都賦予一個實數，記為P(A)，且滿足
（1）非負性：0≤P(A)≤1；
（2）規範性：P( )=1；
（3）可加性：若A1,A2,L,An,L兩兩互不相容，有P(UAi)=∑P(Ai)。
i=1i=1∞∞
則稱P(A)為事件A的概率。
而事件A的頻率是指事件A在n次重複試驗中出現的次數n(A)與總的試驗次數n之比，即n(A)為n次試驗中A出現的頻率。因此當試驗次數n為n
有限數時，頻率只能在一定程度上反映了事件A一定條件下做重複試驗，其結果可能是不一樣的，所以不能用頻率代替概率。
不過由大數定律保證，頻率總能穩定在某個固定數P(A)周圍，並且
→∞fn(A) n →P(A)，即頻率總有穩定值。該穩定值P(A)稱為事件A的概率。
有此得到概率的統計性定義：
在不變條件下做大量重複試驗，稱在重複試驗中事件A發生的頻率的穩定值p為事件A的概率，記為P(A)。
概率P(A)的性質如下：
（1）P(φ)=0。
（2）若A1,A2,L,An兩兩互不相容，則P(UAi)=∑P(Ai)。
i=1i=1nn
（3）若A的對立事件記為，則P(A)=1 P()。
（4）若A B，則P(B A)=P(B) P(A)，且P(A)≤P(B)。
（5）P(AUB)=P(A)+P(B) P(AB)。
此性質可推廣到任意有限個事件A1,A2,L,An，即
P(A1UA2UA3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) P(A1A2) P(A1A3)
P(A2A3)+P(A1A2A3)。
P(UAi)=∑P(Ai) ∑P(AiAj)+
i=1i=1i<jnnni<j<kn∑P(AiAjAk)+L+( 1)n 1P(A1LAn)。
熟練掌握概率的諸條性質，有利於簡化複雜事件的概率計算，尤其要善於利用性質3，把複雜事件的概率計算轉化為計算逆事件的概率。
5．條件概率與無條件概率有何區別與聯繫？
無論是無條件概率還是條件概率都必需滿足公理化定義。由條件概率定
$P(AB)/P(B)P(B)>0，則稱P(A|B)=義（若A、B為樣本空間 中的兩個事件，
為事件B發生的條件下事件A發生的條件概率。）可以看出P(A|B)是在事件“B發生”的條件（新條件）下事件A發生的概率，它與無條件概率（普通概率）P(A)的區別，就在於後者發生的條件，還是原來的條件（概率公理化定義中的條件）。這裏所謂“無條件”是指“無新條件”，原來的條件並非可無。
無條件概率P(A)是在原來的樣本空間中計算事件A發生的概率，而條件概率P(A|B)可看作事件B發生後，在縮小的樣本空間中計算事件A發生的概率。因此求條件概率的一般方法如下：
（1）事件B發生後，在縮小的樣本空間中計算事件A發生的概率P(A|B)；
（2）在樣本空間中先計算P(AB)、P(B)，再按定義計算P(A|B)。
當兩個事件A、B相互獨立時（事件A是否發生不影響事件B發生的概率），有P(AB)=P(A)P(B)，此時P(A|B)=P(A)，即在事件A、B相互獨立條件下無條件概率與條件概率是一樣的。
6．如何使用全概率公式和Bayes公式?
全概率公式與Bayes公式應用起來較為複雜，但應用比較廣泛。在分析應用全概率公式過程中，它把事件A的概率（不太好求）分解成幾個比較容易計算的事件概率之和，形似繁瑣，實則簡單。其關鍵是尋找一組兩兩互不相容事件A1，A2，L，An，使要研究的事件A UAi，即
i=1n
A=AA1UAA2ULUAAn，從而使問題轉化為求一組兩兩互不相容的簡單事件AA1，AA2，L，AAn的概率，然後用一次加法公式及乘法公式即可。或者把Ai看成A發生的原因，A是結果。而P(Ai)及P(A|Ai)（i=1，2，L，n）是較容易求得的，於是可有“原因”求“結果”。∑P(Ai)=1往往成為是否找對i=1n
A1，A2，L，An的檢驗方法。如何找A1，A2，L，An要具體問題具體分析，現提出兩點供參考：
（1）A1，A2，L，An可看成導致事件A發生的一組原因，若事件A表示次品，則A1，A2，L，An必表示n個（台）工廠（車間、機器）生產了次品；若事件A表示某種疾病，則必是n種病因A1，A2，L，An導致A發生。這些A1，A2，L，An的概率已知或容易求出，且在A1，A2，L，An發生的條件下A
發生的條件概率已知或容易求出，便可用全概率公式求A的概率。
（2）A1，A2，L，An是導致事件B發生的原因，各種原因的概率P(Ai)稱為先驗概率，一般由實際或經驗給出。而P(Ai|B)是試驗之後，找某種原因發生的可能性，它是後驗概率，常用Bayes公式求之。因此Bayes公式有時稱為後驗概率公式，它實際上是條件概率。是在已知結果發生的條件下，求導
當P(A)、P(A1)及P(A|A1)致結果的某種原因的可能性大小。比如求P(A1|A)，
較容易求得時，就用Bayes公式，它是有“結果” 求“原因”。
7．n個事件相互獨立與n個事件兩兩獨立有什麼聯繫與區別？
由n個事件相互獨立與n個事件兩兩獨立的定義可知，後者是前者的條件，由前者可以推出後者，即相互獨立 兩兩獨立，反之不真。例如：設有四張卡片分別標以數字1，2，3，4。今任取一張，設事件A為取到1或2，事件B為取到1或3，事件C為取到1或4，則事件A、B、C兩兩獨立，但不相互獨立。
事實上，若設Ai表示取到標以數字i（i=1,2,3,4）的卡片，則P(Ai)=。因此，P(A)=P(A1UA2)=P(A1)+P(A2)=1， 214
同理，P(B)=P(C)=，而P(AB)=P[(A1UA2)I(A1UA3)]=P(A1)=1=P(A)P(B)， 412
同理，P(AC)=11=P(A)P(C)， P(BC)==P(B)P(C)， 44
1≠P(A)P(B)P(C)， 4所以事件A、B、C兩兩獨立。而 P(ABC)=P[(A1UA2)I(A1UA3)I(A1UA4)]=P(A1)=
所以事件A、B、C不相互獨立。
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