一、引言
高等代數[1]是理工科大學生的基礎課, 對數學系的學生尤其重要.它的教學質量的高低直接關係到理工科大學生的專業基礎和後繼課程的學習, 提高其教學質量對培養高層次人才具有重要意義[2].
高等代數包括多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐式空間、雙線性函數與辛空間等內容, 對理工科的大學生來説課程內容量多, 教學課時緊, 理解難度較大, 學生普遍感覺學習比較吃力.筆者近年來主要在數學系從事高等代數的教學工作, 針對學生在學習這門課程中存在的上述問題, 總結歸納了幾個方面, 期望對學生的學習和同行教師的教學有所幫助, 共同改進和提高高等代數的教學質量.
二、具體問題 (注:本文中的教材均指參考文獻[1], 以後不再詳細贅述)
1. 關於"階梯形矩陣"的理解和運用.
教材P72給出了"階梯形矩陣"的文字定義, 但學生普遍反映該定義較抽象, 理解難度較大, 筆者建議學生可同時參看另一本書[3]給出的相關內容.在[3]中不僅給出了"階梯形矩陣"具體數學表達式的定義, 還給出了什麼是"階梯頭", 以及一類特殊的階梯形矩陣---約化階梯形矩陣 (也稱為行最簡形) .實踐證明, 學生若理解階梯頭的概念和約化階梯形矩陣, 對其解題幫助甚多.對此類問題, 可用兩種方法求解.
分析:方法1是教材上給出的傳統解法, 也是大多數教師在講解第三章內容時所用的方法;方法2是筆者將方法1解答過程中得到的階梯形矩陣利用初等行變換進一步化為約化階梯形矩陣, 進而求解方程組.表面上看, 兩種方法複雜程度相當, 實際上方法2比方法1快捷, 因為化為約化階梯形矩陣以後, 每個階梯頭都是1, 該列其餘所有的元素均為0, 因此與原方程組等價同解的方程組 (如上述方程組 (*) ) 就非常容易求解, 其解一目瞭然.[4]
2. 教材P188給出引理:
對一個s×n矩陣A作一初等行變換就相當於在A的左邊乘上相應的s×s初等矩陣, 對A作一初等列變換就相當於在A的右邊乘上相應的n×n的初等矩陣, 我們不妨簡記為"左乘行變, 右乘列變",
P191給出定理6:n級矩陣A為可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積:A=Q1Q2…Qm,
利用該引理和定理6, 筆者給出教材P180定理4的另一種簡單證明方法.
定理4 A是一個s×n矩陣, 如果P是s×s可逆矩陣, Q是n×n可逆矩陣, 那麼
證明:因為P是可逆矩陣, 根據定理6, 它能表成一些初等矩陣的乘積:
根據引理, 矩陣X1X2…XmA (即PA) 相當於對矩陣A作m次的初等行變換, 由於初等變換不改變矩陣的秩, 故秩 (A) =秩 (P A) .
另一個等式可同樣證明.
3. 分塊矩陣的分塊原則.
教材第三章第五節講到了"矩陣的分塊", 但是並沒有很直接地説明相關問題, 比如是否對每一個矩陣的計算都適合用分塊的方法, 以及分塊時如何去進行.
首先需要明確:並不是所有的矩陣都適合用分塊的方法去計算.總結講解高等代數的相關書籍, 我們會發現下面的規律:對於一般矩陣而言, 只有將其分塊以後能分出諸如零矩陣、單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣等特殊的子矩陣, 我們一般才考慮用分塊的方法去計算.
這樣的例子有很多, 如教材P181所給的例子:
按照教材上的分塊方法, 矩陣A分成的四個子矩陣中, 包括兩個2級單位矩陣和一個2級零矩陣.
當然上述規律也不盡然, 對一些特別的矩陣, 可能分塊以後並沒有上面提到的一些特殊子矩陣, 但是實踐證明也較適用分塊的方法.讀者可參看教材P203第28題, 對於矩陣A,
本題要求用兩種方法求逆矩陣, 一是初等變換, 二是矩陣分塊.讀者通過用兩種方法分別計算可知, 本題用第二種方法較為簡便.
4. 向量組的極大線性無關組P125:
定義13一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關組, 如果這個部分組本身是線性無關的, 並且從這向量組中任意添加一個向量 (如果還有的話) , 所得的部分向量組都線性相關.
齊次線性方程組的基礎解系P142:
定義17齊次線性方程組 (1) (見教材P141) 的一組解η1, η2, …, ηt稱為它的基礎解系, 如果 (1) (1) 的'任一個解都能表成η1, η2, …, ηt的線性組合; (2) η1, η2, …, ηt線性無關.
線性空間的一組基P249:
定義6在n維線性空間V中, n個線性無關的向量ε1, ε2, …, εn稱為V的一組基.設α是V中任一向量, 於是ε1, ε2, …, εn, α線性相關, 因此α可以被基ε1, ε2, …, εn線性表出:α=a1ε1+a2ε2+…anεn.
三者的區別與聯繫:區別是很明顯的, 無須多言.聯繫在於:齊次線性方程組的任一個解本質上都是一個解向量, 因此從定義上可看出, 齊次線性方程組的一個基礎解系即是它所有解構成的解向量組的一個極大線性無關組.同樣的道理可知, 線性空間的一組基也為該空間中所有向量組成向量組的一個極大線性無關組.又向量本質上為矩陣, 故對三者的各類求解問題, 雖然表面差別很大, 但實質都是考察矩陣的行 (列) 初等變換、化為階梯形矩陣、秩、找出極大線性無關組等問題, 殊途同歸.具體例子請參看教材P271第17題.
5. 對矩陣秩r的全面理解.
教材P134定理6:一矩陣的秩為r的充分必要條件為矩陣中有一個r級子式不為零, 同時所有r+1級子式全為零.
這裏補充注意兩個問題:
(1) 對該矩陣A而言, 其所有的k (≤r-1) 級子式均不全為零.因為由行列式按一行展開的公式可知, 如果矩陣A的k (≤r-1) 級子式全為零, 則矩陣A的k+1級子式全為零, 從而A的所有級數大於k的子式全為零.顯然r≥k+1, 故A的所有級數為r的子式全為零, 與定理條件"有一個r級子式不為零"相矛盾.
(2) 同 (1) 分析可知, 若矩陣A的k+1級子式全為零, 則A的所有級數大於k+1的子式也必然全為零, 從而可以説:此時, A的所有級數大於k的子式全為零.
綜合以上兩點, 可將定理6換一種定義説法, 即:一矩陣的秩為r的充分必要條件為矩陣的非零子式的最高級數為r級.
三、總結
高等代數是理工科大學生一門非常重要的專業基礎課.本文總結了高等代數教學過程中幾個容易被忽視而對整個知識體系的理解又非常關鍵的問題, 旨在幫助學生們更好地把握整個代數知識框架的脈絡, 同時也期望為從事這門課程教學的教師同行們提供積極的教學參考.
參考文獻
[1]北京大學數學系前代數小組.高等代數[M].第4版.北京:高等教育出版社, 2013.
[2]張華民, 殷紅彩.高等代數教學中的幾點思考[J].安慶師範學院學報:自然科學版, 2014, 20 (1) :90-93.
[3]陳維新.線性代數[M].第2版.北京:科學出版社, 2005.
[4]張盛祝, 蔡禮明, 胡餘旺.高等代數內容、方法及典型問題[M].北京:中國石化出版社, 2014.
文萃咖
