一、選擇題（每小題3分，共30分）
1.二次函數 的圖象的頂點座標是（）
A.（1，3） B.（ 1，3） C.（1， 3） D.（ 1， 3）
2.把拋物線 向下平移2個單位，再向右平移1個單位，所得到的拋物線是（）
A.B.C.D.
3.如圖，在平面直角座標系中，拋物線所表示的函數解析式為 ,則下列結論正確的是（）
A.B. ＜0, ＞0
C. ＜0, ＜0D. ＞0, ＜0
4.在二次函數 的圖象上，若 隨 的增大而增大，則 的取值範圍是（）
A. 1B. 1C. -1D. -1
5.二次函數 無論 取何值，其圖象的頂點都在( )
A.直線 上B.直線 上
C.x軸上D.y軸上
6. 拋物線 軸交點的縱座標為（）
A.-3 B.-4 C.-5 Ｄ.-1
7.已知二次函數 ，當 取 ， （ ≠ ）時，函數值相等，則當 取 時，函數值為（）
A.B. C.D.c
8.已知二次函數 ，當 取任意實數時，都有 ， 則 的取值範圍是（ ）
A． ．C．D．
9.如圖所示是二次函數 圖象的一部分，圖象過點 二次函數圖象的對稱軸為 給出四個結論：① ② ③ ④ ，
其中正確的結論是()
A.②④ B.①③C.②③ D.①④
10.已知二次函數 的圖象如圖所示,其對稱軸為直線 ，給出下列結論:(1) ；(2) ＞0；(3) ；(4) ；(5) .
則正確的結論是（）
A.(1)(2)(3) (4) B.(2)(4)(5)
C.(2)(3)(4) D.(1) (4)(5)
二、填空 題（每小題3分，共24分）
11.在平面直角座標系 中，直線 為常數）與拋物線 交於 兩點，且 點在 軸 左側， 點 的座標為（0,－4），連接 , .有以下説法：
① ；②當 時， 的值隨 的增大而增大；③當 － 時， ；④△ 面積的最小值為4 ，其中正確的是 .（寫出所有正確説法的序號）
12.把 拋物線 的圖象先向右平移3 個單位長度，再向下平移2 個單位長度，所得圖象的解析式是 則.
13.已知拋物線 的頂點為 則 ,.
14.如果函數 是二次函數，那麼k的值一定是.
15.將二次函數 化為 的形式，則．
16.二次函數 的圖象是由函數 的圖象先向（左、右）平移
個單位長度，再向（上、下）平移個單位長度得到的.
17.如圖，已知拋物線 經過點（0,－3）,請你確定一個 的值 ，使該拋物線與 軸的一個交點在(1,0)和(3,0)之間,你所確定的 的值是 ．
18.如圖所示，已知二次函數 的圖象經過（-1,0）和（0,-1）兩點，則化簡代數式 =.
三 、解答題（共46分）
19.（6分）已知拋物線的頂點為 ,與y軸的交點為 求拋物線的解析式.
20.（6分）已知拋物線的解析式為
(1)求證：此拋物線與x軸必有兩個不同的交點；
(2)若此拋物線與直線 的一個交點在y軸上，求m的值.
21.（8分）某水渠的橫截面呈拋物線形，水面的寬為 （單位：米），現以 所在直線為 軸，以拋物線的對稱軸為 軸建立如圖所示 的平面直角座標系,設座標原點為 .已知 米，設拋物線解析式為 .
（1）求 的值；
（2）點 （-1， ）是拋物線上一點，點 關於原點 的對稱點為點 ，連接 , , ，求△ 的面積.
22.（8分 ）已知：關於 的方程
(1)當 取何值時，二次函數 的對稱軸是 ；
(2)求證： 取任何實數時，方程 總有實數根.
23.（8分）已知拋物線 與 軸有兩個不同的交點．
(1)求 的取值範圍；
(2)拋物線 與 軸的兩交點間的距離為2，求 的值.
24.（10分）心理學家發現,在一定的時間範圍內,學生對概念的接受能力 與提出概念所用的時間 (單位：分鐘)之間滿足函數關係式 的值越大,表示接受能力越強.
(1)若用10分鐘提出概念,學生的接受能力 的值是多少 ?
(2)如果改用8分鐘或15分鐘來提出這一概念,那麼與用10分鐘相比,學生的接受能力是增強了還是減弱了?通過計算來回答.
人教版2015初三數學上冊期中二 次函數試題(含答案解析)參考答案：
1.A 解析：因為 的.圖象的頂點座標為 ,所以 的圖象的頂點座標為（1，3）.
2.D 解析：把拋物線 向下平移2個單位，所得到的拋物線是 ，再向右平移1個單位，所得到的拋物線是 .
點撥：拋物線的平移規律是左加右減，上加下減.
3.A 解析：∵ 圖中拋物線所表示的函數解析式為 ,∴ 這條拋物線的頂點座標為 .觀察函數的圖象發現它的頂點在第一象限，∴ .
4.A 解析：把 配方，得 .∵ -1 0,∴ 二次函數圖象的開口向下.又圖象的對稱軸是直線 ,∴ 當 1時， 隨 的增大而增大.
5. B 解析：頂點為 當 時， 故圖象頂點在直線 上.
6.C 解析：令 ，得
7.D 解析：由題意可知 所以 所以當
8.B 解析：因為當 取任意實數時，都有 ,又二次函數的圖 象開口向上，所以圖象與 軸沒有交點，所以
9.B 解 析:由圖象可知 .當 時， 因此只有①③正確.
10. D解析：因為二次函數與 軸有兩個交點，所以 .（1）正確.拋物線開口向 上，所以 0.拋物線與 軸交點在 軸負半軸上，所以 .又 , （2）錯誤.(3)錯誤.由圖象可知當 所以（4）正確.由圖象可知當 ,所以（5）正確.
11.③④ 解析：本題綜合考查了二次函數與方程和方程組的綜合應用.
設 點A的座標為（ , ）,點B的座標 為（ ）.
不妨設 ,解 方程組 得 ∴ ( ,- ）,B（3,1）.
此時 , ,∴ .而 =16,∴ ≠ ,∴ 結論①錯誤.
當 = 時， 求出A(-1,- ),B（6,10）,
此時 ( )(2 )=16.
由① 時， ( )( )=16.
比較兩個結果發現 的值相等.∴ 結論②錯誤.
當 - 時，解方程組 得出A（-2 ，2）,B （ ，-1）,
求出 12, 2, 6,∴ ,即結論③正確.
把方程組 消去y得方程 ,∴ , .
∵ = ?| | OP?| |= ×4×| |
=2 =2 ,
∴ 當 時， 有最小值4 ，即結論④正確.
12.11 解析：
把它向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度得
即 ∴
∴∴
13.-1 解析：故
14. 0 解析：根據二次函數的定義，得 ，解得 .又∵ ，∴ ．∴ 當 時，這個函數是二次函數．
15.解析：
16.左 3 下 2 解析：拋物線 是由 先向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度得到的.
17. （答案不唯一） 解析：由題意可知 要想拋物線與 軸的一個交點在（1,0）和（3，0）之間，只需 異號即可，所以
18.解析：把（-1，0）和（0，-1）兩點代入 中，得
， ，∴ .
由圖象可知，拋物線對稱軸 ，且 ，∴ ，∴ .
∴
= ,故本題答案為 ．
19.解:∵ 拋物線的頂點為 ∴ 設其解析式為 ①
將 代入①得 ∴
故所求拋物線的解析式為 即
20.(1)證明：∵
∴∴ 方程 有兩個不相等的實數根.
∴ 拋物線 與 軸必有兩個不同的交點.
(2)解:令 則 解得
21. 分析：（1）求出點A或點B的座標，將其代入 ，即可求出a的值；
（2）把點 代入（1）中所求的拋物線的解析式中，求出點C的座標，再根據點C和點D關於原點O對稱，求出點D的座標，然後利用 求△BCD的 面積.
解：（1）∵ ,由拋物線的對稱性可知 ,
∴ （4,0）.∴ 0＝16a-4.∴ a .
（2）如圖所示，過點C作 於點E，過點D作 於點F.
∵ a= ,∴ -4.當 -1時，m= × -4=- ,∴ C（-1,- ）.
∵ 點C關於原點O的對稱點為點D，∴ D（1, ）.∴ .
∴ ×4× + ×4× =15.
∴ △BCD的面積為15平方米.
點撥：在直角座標系中求圖形的面積，常利用“割補法”將其轉化為有一邊在座標軸上的圖形面積的和或差求解.
22.(1)解：∵ 二次函數 的對稱軸是 ，
∴ ,解得
經檢驗 是原方程的解.
故 時，二次函數 的對稱軸是 .
（2）證明：①當 時，原方程變為 ，方程的解為 ；
②當 時，原方程為一元二次方程， ，
當 方程總有實數根，∴
整理得，
∵ 時, 總成立,
∴ 取任何實數時，方程 總有實數根.
23.解:（1）∵ 拋物線與 軸有兩個不同的交點，∴ ＞0，即 解得c ＜ .
(2)設拋物線 與 軸的兩交點的橫座標為 ，
∵ 兩交點間的距離為2，∴ .由題意，得 ,解得 ,
∴ ， ．
24.解:(1)當 時, .
(2)當 時, ,
∴ 用8分鐘與用10分鐘相比 ,學生的接受能力減弱了;
當 時, ,
∴ 用15分鐘與用10分鐘相比,學生的接受能力增強了.
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