逆向思維

           廣西都安隆福鄉崇山小學                韋文祝   

[摘  要] 正向思維是解決問題的正常途徑，但對一些問題常常一籌莫展；若改變思維方向，用逆向思維方法，可以使問題迎刃而解。

[關鍵詞] 逆向思維

逆向思維是一種創造性思維。逆向思維是相對正向思維而言，它是與人們常規思維程序相反的，不是從原因(或條件)來推知結果(或結論)，而是從相反方向展開思路，分析問題，而得出的結論。

由於數學定義，公式都有可逆性，不少數學定理、數學運算以及解題過程也有可逆性，所有這些可逆性理論為逆向思維提供了理論依據。因此，在解答數學題時，應擺脱思維定勢的束縛，打破常規，從問題的反面入手，這樣常能由“山窮水盡”進入“柳暗花明”。本文從以下幾個方面説明如何應用“逆向思維”巧解數學題。

1  利用公式的可逆性，使難題迎刃而解

善於將數學公式從右到左熟練地逆向運用，是對公式真正理解程度掌握的重要標誌。當解題思路受阻，出現思維障礙時，如能靈活地將公式逆向運用，能使解題豁然開朗。

例1、求   的值

分析：若按習慣正用公式，極易想到對  進行積化和差，得 ，但由於沒有出現特殊角，無法求出其值，此時如再利用倍角公式展開，仍然不能奏效，若聯想到二倍角公式的可逆性，逆向運用二倍角公式，本題可順利獲解。

解： 

2  藉助數學運算的可逆性，逆向探求解題途徑

數學中的許多運算都是可逆的，例如加法與減法，乘法與除法，乘方與開方，指數運算與對數運算，三角運算與反三角運算等等。在同一級運算中，一種運算的逆運算都是由它的正運算引出的，解題時，注意藉助數學運算的可逆性，學會逆向運算法則，可以有效地培養運算能力，提高解題速度。

例2、已知  、 、 為正數，且 ，求證： 。

分析：觀察條件等式的左邊，逆向聯想到 是反正弦值。可以把條件等式轉換成正弦來解答，所以可證。

證明：設 , ， ，則 ， ， ,即求： 。

       即 

3  利用“正難則反”的原則，使解題思路豁然開朗

解決一個數學問題，若正面情況比較複雜，或從正面無法入手時，則必須快速轉向，採取順繁則逆，正難則反的策略。

例3、若下列三個方程： ， ， ，至少有一個方程有實根。試求實數 的取值範圍。

分析：三個方程中至少有一個方程有實根，情況很複雜，可能有七種情況分別討論，十分複雜，但從反面入手，只有一種情況，即三個方程都沒有實根，情況仍為簡單，由此得以下解法。

解：若三個方程均無實數根，則有

解得 ，要使三個方程至少有一個方程有實根，則 的取值範圍為( ，  , 

4  把握因果關係的可逆性，逆向探求解題途徑

數學過程有一定的因果關係，通常從原因推知結論，但有時可反過來，從肯定的結論入手進行推理，推出符合條件或易證的命題，並且推理的每一步均可逆，則可證得原命題成立，這種“執果索因”的分析方法，便於思考，有益於獲得解題捷徑。

例4、求證： 的最小值是  

分析：若要證明函數 的最小值是  ，只需證 成立，則移項得 ，變形為 ，即 ，當 時，此不等式成立，每一步都可逆推回去。

5  利用反證法思想，尋找解題佳徑

數學題浩似煙海，如果單純用一種思維方式去思考，有時會思路閉塞，陷入困境，若善於從不同角度、不同方向思考問題，熟練靈活運用反證法，能使一些難題迎刃而解，出奇制勝地解決問題。

例5、已知鋭角 、 滿足 ，求證： 。

分析：本題若直接由已知條件證明 ，確有很大的難度。但若從反面出發，考慮 ， 與 三種可能情況，則間接得證。

證明：(1)假若 且 、 為鋭角，則 。

   ，即

 。--①

同理 ，即

 。--②

由①+②得 ，這與已知條件矛盾。

  不大於 。

(2)假若 ，則 。

同上證法，有 且 。

  ，這與已知條件矛盾

  不小於 。

綜合上述情況，可知 成立。

本文通過以上五個方面來討論逆向思維方法。解決一些數學問題，充分顯示出逆向思維是重要的數學思維方法。但是，由於我們的教學過程大部分是順向思維，往往使學生在很大程度上形成思維定勢，這樣在某種程序上制約了逆向思維的建立，所以在以後教學中如何對學生進行逆向思維訓練，幫助學生由單向思維向雙向思維發展，提高解題能力，這仍然需要廣大教師努力去工作。

[參考文獻]

[1]工瑞立鄒澤民中學數學方法論[M] 廣西教育出版社

[2]楊  雲培養創新思維的途徑與方法[J] 數學教學研究2002.1