高二數學等比數列的前n項和教學設計

作為一名教職工，很有必要精心設計一份教學設計，教學設計把教學各要素看成一個系統，分析教學問題和需求，確立解決的程序綱要，使教學效果最優化。你知道什麼樣的教學設計才能切實有效地幫助到我們嗎？以下是小編精心整理的高二數學等比數列的前n項和教學設計，歡迎閲讀，希望大家能夠喜歡。

一、教學背景分析

1、教學內容分析

本節課是高中數學（北師大版必修5）第一章第3節第二課時,是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續，與函數等知識有着密切的聯繫，也為以後學數列的求和，數學歸納法等做好鋪墊。而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今後學習和工作中必備的數學素養，如在“分期付款”等實際問題中也經常涉及到。本節以數學文化背境引入課題有助於提升學生的創新思維和探索精神,是提高數學文化素養和培養學生應用意識的良好載體。

2、學情分析

從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是，本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有着本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對於q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在後面使用的過程中容易出錯。教學對象是高二理科班的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由於年齡的原因，思維儘管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不完全。

二、教學目標

依據新課程標準及教材內容，結合學生的認知發展水平和心理特點，確定本節課的教學目標如下：

1、知識與技能目標: 理解等比數列前n項和公式推導方法；掌握等比數列前n項和公式並能運用公式解決一些簡單問題。

2、過程與方法目標：感悟並理解公式的推導過程，感受公式探求過程所藴涵的從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質，初步提高學生的建模意識和探究、分析與解決問題的能力。

3、情感與態度目標：通過經歷對公式的探索過程，對學生進行思維嚴謹性的訓練，激發學生的求知慾，鼓勵學生大膽嘗試、勇於探索、敢於創新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受數學的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美和數學的嚴謹美。

三、重點,難點

教學重點：等比數列前“等比數列的前n項和”項和公式的推導及其簡單應用。

教學難點：公式的推導思想方法及公式應用中q與1的關係。

四、教學方法

啟發引導，探索發現，類比。

五、 教學過程

（一）藉助數學文化背境提出問題

在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大為讚賞，對他説：我可以滿足你的任何要求。

西薩説：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往後每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數學家計算，結果出來後，國王大吃一驚。為什麼呢？

【設計意圖】：設計這個數學文化背境目的是在引入課題的同時激發學生的興趣，調動學習的積極性。故事內容也緊扣本節課的主題與重點。

問題1：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？

引導學生寫出麥粒總數“等比數列的前n項和”。

（二）師生互動，探究問題

問題2：“等比數列的前n項和”

有些學生會説用計算器來求。（老師當然肯定這種做法，但學生很快發現比較難求。）

問題3：同學們，我們來分析一下這個和式有什麼特徵？

（學生會發現，後一項都是前一項的2倍）

問題4：如果我們把（1）式每一項都乘以2，就變成了它的後一項，那麼我們若在此等式兩邊同以2，得到（2）式：

“等比數列的前n項和”

比較（1）(2）兩式，你有什麼發現？（學生經過比較發現：（1）、（2）兩式有許多相同的.項）

問題5：將兩式相減，相同的項就消去了，得到什麼呢？。（學生會發現：“等比數列的前n項和”

【設計意圖】：這五個問題層層深入，剖析了錯位相減法中減的妙用，使學生容易接受為什麼要錯位相減，經過繁難的計算之後，突然發現上述解法，也讓學生感受到這種方法的神奇。

問題6：老師指出這就是錯位相減法，並要求學生縱觀全過程，反思為什麼（1）式兩邊要同乘以2呢？

【設計意圖】：經過繁難的計算之苦後，突然發現上述解法，讓學生對錯位相減法有一個深刻的認識，也為探究等比數列求和公式的推導做好鋪墊。

（三）類比聯想，構建新知

這時我再順勢引導學生將結論一般化。

問題7：如何求等比數列“等比數列的前n項和”的前“等比數列的前n項和”項和“等比數列的前n項和”：

即:“等比數列的前n項和”(學生相互合作,討論交流，老師巡視課堂，並請學生上台板演。)

注：學生已有上面問題的處理經驗，肯定有不少學生會想到“錯位相減法”，教師可放手讓學生探究。

將“等比數列的前n項和”兩邊同時乘以公比“等比數列的前n項和”後會得到“等比數列的前n項和”，兩個等式相減後，哪些項被消去，還剩下哪些項，剩下項的符號有沒有改變？這些都是用錯位相減法求等比數列前“等比數列的前n項和”項和的關鍵所在，讓學生先思考，再討論，最後師在突出強調，加深印象。

兩式作差得到“等比數列的前n項和”時，肯定會有學生直接得到“等比數列的前n項和”，不忙揭露錯誤，後面再反饋這個易錯點，從而掌握公式的本質。

【設計意圖】：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的成就感。增強學習數學的興趣和學好數學的信心。

問題8:由 “等比數列的前n項和” 得 “等比數列的前n項和”對不對呢？這裏的“等比數列的前n項和”能不能等於1呀？等比數列中的公比能不能為1？那麼“等比數列的前n項和”時是什麼數列？此時“等比數列的前n項和”？你能歸納出等比數列的前n項和公式嗎？ （這裏引導學生對“等比數列的前n項和” 進行分類討論，得出公式，同時為後面的例題教學打下基礎。）

再次追問：結合等比數列的通項公式“等比數列的前n項和” ,如何把“等比數列的前n項和” 用“等比數列的前n項和” “等比數列的前n項和” 、“等比數列的前n項和” 表示出來？（引導學生得出公式的另一形式）

知三求二：n q a1 an Sn ；n的含義：項數（通項公式是qn－1）；q的含義：公比（注意q=1，分類討論）；

錯位相減法：乘公比（作用是構造許多相同項）後錯開一項後再減。

【設計意圖】：通過反問學生歸納，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變為對知識的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環節非常重要，儘管僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。

（四）討論交流，延伸拓展

問題9: 探究等比數列前n項和公式，還有其它方法嗎？

“等比數列的前n項和”（學生討論交流，老師指導。依學生的認知水平可能會有以下幾種方法）

（1）錯位相減法

“等比數列的前n項和”（2）提出公比q。

“等比數列的前n項和”（3）累加法。

【設計意圖】：以疑導思，激發學生的探索慾望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍、 這有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源於課本，又高於課本，對學生的思維發展有促進作用。

(五) 應用公式，深化理解

例1：在等比數列{ an }中：

(1)已知a1＝3，q＝2，n＝6，求Sn；

(2)已知a1=8，q=1/2，an =1/2，求Sn；

(3)已知a1=－1、5，a4=96，求q與S4；

(4)已知a1=2，S3＝26，求q與a3。

【設計意圖】：初步應用公式，理解等比數列的基本量也可“知三求二”，體會方程思想。

例2：等比數列{ an }中，已知a3＝3/2，S3＝9/2，求a1與q。

【設計意圖】：注意公式中的分類討論思想。

例3：求數列{n+ }的前n項和。

【設計意圖】：將未知問題轉化為已知問題，進一步體會等比數列前n項和公式的應用。

練習1：求等比數列“等比數列的前n項和”前8項和；

練習2：a3= ，S9= ，求a1和q；

練習3：求數列{n+an}的前n項和。

（先由學生獨立求解，然後抽學生板演，教師巡視、指導，講評學生完成情況，尋找學生中的閃光點，給予適時的表揚。)

【設計意圖】：通過練習，深化認識，增加思維的梯度的同時，提高學生的模式識別能力，滲透轉化思想。

（六）總結歸納，加深理解

問題10:這節課你有什麼收穫？學到了哪些知識和方法？

【設計意圖】：以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然後老師再從知識點及數學思想方法等方面總結。以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。

（學生小結歸納，不足之處老師補充説明。）

1、公式：等比數列前n項和。

當q≠1時,Sn=

當q=1時, Sn=na1

2、方法：錯位相減法。（乘以公比）

3、思想：分類討論。（公式選擇）

（七）故事結束，首尾呼應

最後我們回到故事中的問題，可以計算出國王獎賞的小麥約為1、84×1019粒，大約7000億噸，用這麼多小麥能從地球到太陽鋪設一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產量的459倍，顯然國王兑現不了他的承諾了。

【設計意圖】：把引入課題時的懸念給予釋疑，有助於學生克服疲倦、繼續積極思維。

（八）課後作業，分層練習

（1）閲讀本節內容，預習下一節內容；

（2） 書面作業：習題P30 8 、10；

【設計意圖】：出選作題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有餘力的學生有思考的空間。