1外點法
外點法求解約束優化問題：對於不等式約束：gu（X）≤0，u=1，2，…，m。
（1）取複合函數（懲罰項）為G［gu（X）］=mu=1｛max［gu（X），0］｝2。
（2）其中，max［gu（X），0］表示將約束函數gu（X）的值和零比較，取其中較大的一個。對於等式約束hv（X）=0，v=1，2，…，p。
（3）取複合函數（懲罰項）為H［hv（X）］=pv=1［hv（X）］2。
（4）對於一般的約束優化問題，外點罰函數的形式為：準（X，rk）=（fX）+rkmu=1｛max［gu（X），0］｝2+rkpv=1［hv（X）］2。
（5）式中，rk為懲罰因子，rk>0。懲罰項與懲罰函數隨懲罰因子的變化而變化，當懲罰因子按一個遞增的正數序列0<r0<r1<…<rk<rk+1<…變化時，依次求解各個rk所對應的懲罰函數的極小化函數，得到的極小點序列X（0），X（1），…，X（k），X（k+1），…將逐步逼近於約束函數的最優解，而且一般情況下該極小序列是由可行域外向可行域邊界逼近。綜上所述，外點法是通過對非可行點上的函數值加以懲罰，促使迭代點向可行域和最優點逼近的算法。因此初始點可以是可行域的內點，也可以是可行域的外點，這種方法既可以處理不等式的約束，又可以處理等式的約束，可見外點法是一種適應性較好的懲罰函數法。外點法的計算步驟：1）給定初始點X（0）、收斂精度ε、初始罰因子r0和懲罰因子遞增係數c，置k=0；2）構造懲罰函數準（X，rk）=f（X）+rkmu=1｛max［gu（X），0］｝2+rkpv=1［hv（X）］2；3）求解無約束優化問題min準（X，rk），得X*，令X（k+1）=X*；4）收斂判斷。若滿足條件‖X（k+1）-X（k）‖≤ε，
（6）和（fX（k+1））-（fX）（k）（fX（k））≤ε。
（7）則令X*=X（k+1），（fX*）=（fX（k+1）），結束計算；否則，令rk+1=crk，k=k+1，轉至步驟2）繼續迭代。
2建立箱型主樑的優化數學模型
2.1確定設計變量及目標函數
由於門式起重機箱型主樑主要承受主樑和提升小車的結構自重以及吊重荷載，因此門式起重機箱型主樑的計算簡圖所示，其中提升小車和吊重荷載為集中載荷P1=120000N，主樑自重為均布載荷P2=125N/m，以小車位主樑跨中時為優化分析工況，此時主樑為最大撓度工況。箱型主樑材料為Q235B，密度為7.8×103kg/m3。主要結構參數有：主樑跨度L，樑高H，樑寬B，腹板厚度d1和翼緣板厚度d2。其中跨度L是給定參數1050cm，其餘都是可改變的。取設計變量為樑高x1，樑寬x2，腹板厚度x3和翼緣板厚度x4。寫成向量形式：X=［x1，x2，x3，x4］T=［H，B，d1，d2］T。（8）門式起重機主樑的.自重是起重機設計的一個重要指標，本文取起重機箱型主樑重量最輕為優化目標。由於樑的跨度L為已知，所以可用樑的截面面積來作為目標函數。同時，又因為樑的高度和寬度尺寸遠大於板的厚度尺寸，故截面面積之半可近似為f（X）=x1x3＋x2x4。（9）這就是本優化設計的目標函數。
2.2確定目標函數的約束條件
1）強度條件。由計算簡圖可知該樑承受雙向彎曲，故強度條件的表達式為：g1（X）=σ-［σ］≤0。（10）式中，σ為圖1所示載荷作用下箱型主樑跨中翼緣板的計算應力，［σ］為許用應力140MPa。代入設計變量和載荷即可得到強度約束條件：g1（X）=3L4P1+7.8×10-5（x1x3+x2x4）L3x1x2x4+x21x3+P23x1x2x3+x22x4≤≤-140≤0。（11）其中長度單位為mm，力的單位為N（以下同）。
2）剛度條件。剛度約束條件（樑跨中撓度限制）：主樑產g2（X）=k3x21x2x4+x31x3-［f］≤0。（12）其中，k=P1L3/1.68×106，［f］=L700（允許撓度）代入式（12）可得：g2（X）=P1L3（3x21x2x4+x31x3）×1.68×106-L700≤0。（13）
3）翼緣板局部穩定性條件。翼緣板寬度和厚度的比值約束翼緣板承受壓應力。保證箱型翼緣板局部穩定性而不需要加筋的條件為：g3（X）=x2/x4-60≤0。（14）
4）腹板局部穩定性條件。主樑腹板高度和厚度比值的約束由參考文獻［11］知，腹板會在兩種情況下失去穩定：一是在剪應力作用下失穩；二是在壓應力作用下失穩。為了防止後一種情況產生，常在腹板區設置縱向加強筋板。但是加筋過多不僅會增加製造成本，而且焊縫過多會引起較大的應力集中，故在設計時只考慮在腹板上加1條縱筋。腹板加1條縱筋的條件是g4（X）=x1/x3-160≤0。（15）
5）幾何約束條件。考慮到便於焊接加工，板厚不得小於5mm，於是得到幾何約束條件：g5（X）=0.5-x3≤0；（16）g6（X）=0.5-x4≤0。（17）利用外點罰函數法，可將該約束優化問題轉化為如下無約束優化問題：求X=［x1，x2，x3，x4］T，使min準（X，rk）=x1x3+x2x4+rk6i=1［max（gi（X），0］2。（18）初始化參數為X=［760，310，5，8］，隨着r的遞增，逐次對準（X，rk）求極小，上述無約束優化問題的最優解X*k收斂於原問題的最優解X*。
3基於MATLAB編程求解最優解
1）MATLAB編程。對於上述非線性無約束優化問題，可以採用MATLAB優化工具箱中的fminsearch函數計算。其格式如下：x=fminsearch(fun,x0,options);[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(fun,x0,options);式中：fun為目標函數；x0為初始點；fval為返回函數在最優解點的函數值；exitflag為迭代終止標誌；options為設置優化項目參數。
2）優化結果。對程序運行結果所得參數進行圓整，得到表1門式起重機箱型主樑優化結果比較。
4結論
本文采用外點罰函數法求解門式起重機箱型主樑的非線性無約束優化問題，從優化結果看，在滿足起重機箱型主樑強度、剛度、穩定性等約束條件下，自重減輕了19.8%，優化效果顯著。並且採用MATLAB編程求解最優解，大大提高了優化效率和可靠性。隨着現代計算技術的發展和響應節能的要求，優化技術將會越來越來越廣泛地應用於各個設計領域。
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