圓的標準方程

1、教學目標

（1）知識目標：

1、在平面直角座標系中，探索並掌握圓的標準方程；

2、會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心，能根據條件寫出圓的方程；

3、利用圓的方程解決與圓有關的實際問題.

（2）能力目標：

1、進一步培養學生用解析法研究幾何問題的能力；

2、使學生加深對數形結合思想和待定係數法的理解；

3、增強學生用數學的意識.

（3）情感目標：培養學生主動探究知識、合作交流的意識，在體驗數學美的過程中激發學生的學習興趣.

2、教學重點、難點

（1）教學重點：圓的標準方程的求法及其應用.

（2）教學難點：①會根據不同的已知條件，利用待定係數法求圓的標準方程

②選擇恰當的座標系解決與圓有關的實際問題.

3、教學過程

（一）創設情境（啟迪思維）

問題一：

已知隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為2.7m，高為3m的貨車能不能駛入這個隧道？

[引導]：畫圖建系

[學生活動]：嘗試寫出曲線的方程（對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性複習）

解：以某一截面半圓的圓心為座標原點，半圓的直徑ab所在直線為x軸，建立直角座標系，則半圓的方程為x2＋y2＝16（y≥0）

將x＝2.7代入，得

即在離隧道中心線2.7m處，隧道的高度低於貨車的高度，因此貨車不能駛入這個隧道。

（二）深入探究（獲得新知）

問題二：

1、根據問題一的探究能不能得到圓心在原點，半徑為的圓的方程？

答：x2＋y2＝r2

2、如果圓心在，半徑為時又如何呢？

[學生活動]：探究圓的方程。

[教師預設]：方法一：座標法

如圖，設m（x,y）是圓上任意一點，根據定義點m到圓心c的距離等於r,所以圓c就是集合p={m||mc|=r}

由兩點間的距離公式，點m適合的條件可表示為 ①

把①式兩邊平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2

方法二：圖形變換法

方法三：向量平移法

（三）應用舉例（鞏固提高）

i．直接應用（內化新知）

問題三：1、寫出下列各圓的方程（課本p77練習1）

（1）圓心在原點，半徑為3；

（2）圓心在，半徑為

（3）經過點，圓心在點

2、根據圓的方程寫出圓心和半徑

（1） （2）

ii．靈活應用（提升能力）

問題四：1、求以為圓心，並且和直線相切的圓的方程.

[教師引導]由問題三知：圓心與半徑可以確定圓.

2、求過點，圓心在直線上且與軸相切的圓的.方程.

[教師引導]應用待定係數法尋找圓心和半徑.

3、已知圓的方程為，求過圓上一點的切線方程.

[學生活動]探究方法

[教師預設] [多媒體課件演示]

方法一：待定係數法（利用幾何關係求斜率—垂直）

方法二：待定係數法（利用代數關係求斜率—聯立方程）

方法三：軌跡法（利用勾股定理列關係式）

方法四：軌跡法（利用向量垂直列關係式）

4、你能歸納出具有一般性的結論嗎？

已知圓的方程是，經過圓上一點的切線的方程是：

iii．實際應用（迴歸自然）

問題五：如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度ab=20m，拱高op=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱的長度（精確到0.01m）。

[多媒體課件演示創設實際問題情境]

（四）反饋訓練（形成方法）

問題六：1、求以c（－1，－5）為圓心，並且和y軸相切的圓的方程.

2、已知點a（－4，－5），b（6，－1），求以ab為直徑的圓的方程.

3、求過點，且圓心在直線上的圓的標準方程.

4、求圓x2＋y2＝13過點p（-2，3）的切線方程.

5、已知圓的方程為，求過點的切線方程.

（五）小結反思（拓展引申）

1、課堂小結：

（1）知識性小結：

①圓心為c(a,b)，半徑為r 的圓的標準方程為：

當圓心在原點時，圓的標準方程為：

②已知圓的方程是，經過圓上一點的切線的方程是：

（2）方法性小結：

①求圓的方程的方法：i.找出圓心和半徑；ii.待定係數法

②求解應用問題的一般方法

2、分層作業：（a）鞏固型作業：課本p81-82：（習題7.6）1、2、4

（b）思維拓展型作業：

試推導過圓上一點的切線方程.

3、激發新疑：

問題七：

1、把圓的標準方程展開後是什麼形式？

2、方程：的曲線是什麼圖形？

設計説明

圓是學生比較熟悉的曲線.初中平面幾何對圓的基本性質作了比較系統的研究，因此這節課的重點就放在了用解析法研究它的方程和圓的標準方程的一些應用上.首先，在已有圓的定義和求曲線方程的一般步驟的基礎上，用實際問題引導學生探究獲得圓的標準方程，然後，利用圓的標準方程由潛入深的解決問題,並通過最終在實際問題中的應用，增強學生用數學的意識.另外，為了培養學生的理性思維，我分別在引例和問題四中，設計了兩次由特殊到一般的學習思路，培養學生的歸納概括能力.在問題的設計中，我用一題多解的探究，縱向挖掘知識深度，橫向加強知識間的聯繫，培養了學生的創新精神，並且使學生的有效思維量加大，隨時對所學知識和方法產生有意注意，能力與知識的形成相伴而行，這樣的設計不但突出了重點，更使難點的突破水到渠成.

本節課的設計了五個環節，以問題為紐帶，以探究活動為載體，使學生在問題的指引下、我的指導下把探究活動層層展開、步步深入，充分體現以教師為主導，以學生為主體的指導思想，應用啟發式的教學方法把學生學習知識的過程轉變為學生觀察問題、發現問題、分析問題、解決問題的過程，在解決問題的同時提鍛鍊了思維、提高了能力、培養了興趣、增強了信心。